TH08: Đề ôn tập tổng hợp - số 08

Sao chổi 13P-Olbers, được phát hiện bởi Heinrich Olbers vào năm 1815, là một sao chổi chu kỳ Halley quay quanh Mặt Trời với chu kỳ khoảng 69 năm. Giống như nhiều sao chổi khác, quỹ đạo của nó là một đường elip rất dẹt. Trong bài này, chúng ta sẽ khảo sát một số đặc trưng vật lý và quỹ đạo của sao chổi này khi nó di chuyển trong trường hấp dẫn của Mặt Trời.

Xem sao chổi là một chất điểm $M$ có khối lượng $m$ chịu tác dụng của một tâm hút cố định $O$ (Mặt Trời, khối lượng $M_0$) trong hệ quy chiếu quán tính. Tác dụng của tâm hút được mô tả bằng lực

$$\overrightarrow{F}=-m\frac{\mathrm{dU}\left(r\right)}{\mathrm{dr}}{\overrightarrow{e}}_r$$

Và thế năng hấp dẫn

$$U\left(r\right)=-K/r$$

với $K=G{M}_0$. Để thuận lợi, chúng ta đặt $C=\left|{\overrightarrow{L}}_O\right|/m$ với ${\overrightarrow{L}}_O$ là mômen động lượng của M tại O, và gọi $E=\mathrm{mϵ}$ là cơ năng của $M$.

1. Hãy biểu diễn $ϵ$ theo $\dot{r},r,C,$ và $U\left(r\right)$.

2. Trong quá trình chuyển động của sao chổi, khoảng cách của nó tới Mặt Trời thỏa mãn $r_{\min }\le r\le r_{\max }\mathrm{<\infty }$. Xác định điều kiện của $ϵ$ lúc này và biểu diễn $ϵ$, C theo K, $r_{\min }$ và $r_{\max }$.

3. Cho biết quỹ đạo của M là elip. Cho hai tham số gồm $a$ là bán trục lớn và $e$ là độ lệch tâm của quỹ đạo elip, được định nghĩa bởi $a=\frac{r_{\max }+r_{\min }}{2}$ và $e=\frac{r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}$.

a) Chứng minh rằng thời gian $\tau$ để đi từ $r_{\min }$ đến $r\left(\theta \right)$ được tính bởi:

$$\tau =\sqrt{\frac{a}{K}}\sum _{r_{\min }}^{r\left(\theta \right)}\frac{r}{\sqrt{a^2{e}^2-{\left(r-a\right)}^2}}\mathrm{dr}$$

b) Thực hiện phép đổi biến $r=a\left(1-e\cos \xi \right)$ (với $\xi$ là dị thường lệch tâm), hãy biểu diễn thời gian $\tau$ theo $\xi ,e$ và chu kỳ T của chuyển động $M$.

4. Các đặc trưng quỹ đạo của sao chổi 13P-Olbers là: $e=0.930$, $r_{\min }=1,18$ UA. Lần cuối nó đi qua điểm cận nhật là ngày 10/01/1956. Sao chổi sẽ quay lại cận nhật vào ngày nào? Nó đã đi qua khoảng cách $r=26,06$ UA so với Mặt Trời lần cuối vào ngày nào? (Biết chu kỳ Trái Đất là $T_0=1$ năm, bán kính quỹ đạo $a_0=1$ UA).

Trong bài này, chúng ta nghiên cứu về chu trình của một Động cơ xe tay ga. Động cơ của một chiếc xe tay ga là một động cơ hai kỳ. Giai đoạn đầu tiên: nén hỗn hợp khí-nhiên liệu (FB), sau đó là đốt cháy (BC). Giai đoạn thứ hai: giãn nở (CD), thoát khí cháy và nạp lại hỗn hợp mới (DF). Giả thiết: Quá trình cháy (BC) là tức thời và piston không kịp di chuyển: $V=V_C$. Quá trình giãn nở (CD) và nén (FB) là đoạn nhiệt thuận nghịch. Quá trình xả và nạp (DF) gần như tức thời, thể tích xi lanh không đổi: $V=V_D$. Chu trình của động cơ được mô tả như hình 2.

Trong mỗi chu kỳ, piston thực hiện một lượt đi và một lượt về, tức hai hành trình. Dung tích xi lanh là hiệu $V_D-V_C$ và tỉ số nén là $a=\frac{V_D}{V_C}$. Biết Thông số kỹ thuật của một chiếc xe tay ga: Vận tốc tối đa bằng 45 km/h; Vòng tua tại công suất cực đại: 7000 vòng/phút; Công suất cực đại: 4,40 kW; Dung tích xi lanh: 49,5 cm³; Hành trình piston: 39,2 mm. Giả sử hỗn hợp khí-nhiên liệu là khí lý tưởng (với $\gamma =1,4$), có khối lượng mol $M=29\text{g/mol}$. Hằng số khí lý tưởng là $R=8,31\mathrm{J.}{\mathrm{mol}}^{-1}.K^{-1}$. Tại điểm F, $T_F=300K$ và $P_F={10}^5\mathrm{Pa}$. Áp suất tại cuối quá trình nén là $6.{10}^5\mathrm{Pa.}$

1. Xác định công $W$ do động cơ cung cấp trong một chu trình, biểu diễn theo $R,\gamma ,P_F,V_D$ và các nhiệt độ $T_B,T_C,T_D,T_F$.

2. Xác định nhiệt lượng $Q_{\mathrm{BC}}$ mà hệ nhận được trong quá trình cháy, biểu diễn theo $R,\gamma ,P_F,V_D,T_C,T_B$ và $T_F$. Đồng thời xác định hiệu suất của động cơ $\eta =\frac{W}{Q_{\mathrm{BC}}}$, biểu diễn theo $a$ và $\gamma$.

3. Khi xe tay ga chạy ở vận tốc cực đại, xác định vận tốc trung bình của piston, hãy so sánh vận tốc này với bậc độ lớn của vận tốc trung bình bình phương của các phân tử ở điểm $F$. Từ đó có thể suy ra đặc điểm gì của các biến đổi (CD) và (FB)?

4. Biết xe đang chạy ở $\text{45km}/h$ và công suất là $P=4,4\mathrm{kW}$.

a) Với $\eta =0,4$, tính nhiệt lượng được giải phóng trong mỗi chu trình cháy.

b) Biết rằng giá trị nhiệt đốt của xăng (nhiệt lượng giải phóng do cháy) là $q=30{\text{kJ/cm}}^3$, xác định mức tiêu thụ nhiên liệu theo lít trên 100 km.

Một quả cầu đặc đồng chất (có hệ số điện môi bằng 1), bán kính a được tích điện dương với mật độ điện khối $\mathrm{\rho =}{\rho }_0\left(\mathrm{1+}\frac{\mathrm{r\text{'}}}{a}\right)$ trong đó 0 là một hằng số còn r’ là khoảng cách từ điểm đang xét tới tâm của quả cầu (r’ a). Quả cầu đặc được đặt đồng tâm bên trong một vỏ cầu làm bằng kim loại đã được tích điện dương với độ lớn gấp đôi lượng điện tích của quả cầu đặc và được cách điện với môi trường xung quanh có bán kính trong và ngoài lần lượt là b và c, với c b a, (Hình 3).

1. Xác định tổng điện tích trên quả cầu đặc đồng chất. Tìm mật độ điện tích mặt tại mặt trong và mặt ngoài của vỏ cầu kim loại khi hệ ở trạng thái cân bằng tĩnh điện.

2. Chọn mốc điện thế bằng không tại vô cùng. Tính cường độ điện trường và điện thế tại một điểm bất kì trong không gian cách tâm của quả cầu đặc đồng chất và vỏ cầu kim loại một khoảng r.

3. Nối vỏ cầu kim loại với đất bằng một dây dẫn trên đó có một điện trở có giá trị R (xem Hình 3), điện trở của dây dẫn không đáng kể. Chọn mốc thời gian là lúc đóng khóa K.

a) Viết biểu thức tổng điện tích trên vỏ cầu kim loại theo thời gian.

b) Xác định lượng điện tích chuyển qua điện trở.

c) Tổng nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở kể từ khi nối đất đến khi hệ trở lại trạng thái cân bằng điện và cho biết lí do vì sao tổng nhiệt lượng này không phụ thuộc vào giá trị của R.

Thiết kế của hệ thống ngắm laser cần tính đến sự thay đổi chiết suất của không khí. Do ảnh hưởng của nhiều yếu tố như điều kiện bề mặt, độ cao, nhiệt độ, độ ẩm và mật độ không khí, chiết suất của không khí phân bố không đều trong khí quyển nên đường truyền của tia laser không phải là đường thẳng. Để đơn giản, giả sử rằng chiết suất của không khí ở một nơi nhất định thay đổi theo độ cao $y$ như trong công thức sau

$$\begin{array}{c}{n}^2=n_0^2+{\alpha }^{2}y\end{array}$$

Trong đó: $n_0$ là chiết suất của không khí tại $y=0$ (mặt đất), $n_0$ và $\alpha$ là các hằng số dương đã biết. Thời gian lan truyền của tia laser là không đáng kể. Máy phát laser được đặt ở gốc tọa độ O ( xem Hình 4).

1. Nếu hướng phát xạ của tia laser phù hợp với trục thẳng đứng $\mathrm{Oy}$ một góc là ${\theta }_0\left(0\le {\theta }_0\le \pi /2\right)$. Tìm phương trình mô tả đường truyền của tia laser.

2. Giả sử mục tiêu A nằm trong góc phần tư I. Khi chiều cao của mục tiêu $A$ là $y_a$, tìm giá trị tọa độ $x$ lớn nhất của mục tiêu A (-$x_a$) có thể được chiếu xạ bởi máy phát laser.

3. Laser gây sát thương lên mục tiêu cần một khoảng thời gian chiếu xạ nhất định. Nếu mục tiêu $A$ nằm trong phạm vi tấn công của máy phát laze thì vị trí ban đầu của nó là $\left(x_0,y_0\right)$ và mục tiêu ở cùng độ cao như hình 3. Vận tốc $v$ tiến tới máy phát laser. Để tia laser luôn chiếu sáng mục tiêu, góc phát xạ laser ${\theta }_0$ phải thay đổi như thế nào theo thời gian $t$?

4. Các cuộc tấn công bằng súng laser thường tuân theo nguyên tắc tiêu diệt an toàn, tức là cả máy bay mục tiêu $A$ đều phải bị tiêu diệt và tất cả các quả bom do máy bay mục tiêu thả theo chiều ngang $A$ không được phép phá hủy (vì sẽ gây ra nổ). Quả bom đứng yên so với $A$ khi ném. Giả sử rằng khi A đi vào phạm vi tấn công của máy phát laser, máy phát laser sẽ ngay lập tức chiếu tia laser vào nó. Chiều cao của mục tiêu $A$ là $y_a$. Để tiêu diệt $A$, thời gian cần thiết để chiếu tia laser liên tục là $t_a$. Biết rằng nếu súng laser nằm ở gốc tọa độ $O$ tia laser của có thể tiêu diệt nó một cách an toàn. Tìm phạm vi tốc độ của $A$. Bỏ qua lực cản của không khí, lấy gia tốc trọng trường là $g$.

Năm 1913, Niels Bohr lần đầu tiên đưa ra công thức tính mức năng lượng của nguyên tử hydro, ông cho rằng một electron đơn lẻ sẽ chuyển động theo quỹ đạo tròn xung quanh một proton có khối lượng lớn hơn nhiều so với electron dưới tác dụng của lực tĩnh điện và electron quỹ đạo có mô men động lượng được lượng tử hóa.

1. Biết điện tích electron là $e$, khối lượng electron là $m$, hằng số điện môi chân không là ${\epsilon }_0$, hằng số Planck là $h$. Tìm biểu thức mức năng lượng $E_n$ của nguyên tử hiđrô.

2. Hai nguyên tử hiđro $\mathrm{A,}\mathrm{B,}$ trong đó nguyên tử $B$ ở trạng thái cơ bản và đang đứng yên, nguyên tử $A$ va chạm vào $B$ với vận tốc lớn, biết vận tốc của hai nguyên tử này là một đường thẳng sau va chạm và một phần của động năng có thể bị hấp thụ bởi một lực nào đó trong quá trình va chạm. Nguyên tử hydro hấp thụ, do đó nguyên tử chuyển từ trạng thái cơ bản sang trạng thái kích thích, sau đó nguyên tử chuyển sang trạng thái mức năng lượng thấp hơn và phát ra photon. Biết rằng khối lượng tĩnh của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản là $m_0$ và mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản được ghi là $E_1$. Một photon được phát ra sau va chạm và xem xét hiệu ứng tương đối tính. Tìm giá trị tối thiểu $E_{\min }$ tổng năng lượng của nguyên tử hydro tới.

3. Tiếp tục từ câu hỏi 2.), nếu năng lượng của nguyên tử hydro tới có giá trị nhỏ nhất $E_{\min }$ xác định được trong ý 2.), một photon cuối cùng sẽ được gửi về phía trước dọc theo hướng tới, nếu xem xét $\left|E_1\right|\ll m_0{c}^2.$ Tìm tần số của photon phát ra.

………………………….. HẾT………………………………….