TH07: Đề ôn tập tổng hợp - số 07

1. Có một khối lập phương đặc, đồng chất, đẳng hướng, khối lượng $M$, ở giữa khoét một hình cầu bán kính $R$. Khối lập phương có thể trượt không ma sát trên một mặt sàn nằm ngang. Bên trong lỗ khoét hình cầu, ở đáy của nó có một vật nhỏ khối lượng $m$ đang đứng yên có kích thước hình học không đáng kể (Hình 1a). Tại nơi xét hệ, gia tốc trọng trường là $\overrightarrow{g}$ coi như không đổi.

a) Tìm vận tốc theo phương ngang phải truyền cho vật nhỏ $m$ để khối lập phương có thể nhảy lên khỏi mặt bàn trong quá trình chuyển động. Bỏ qua ma sát ở mọi nơi.

b) Ở giá trị nào của tỉ số khối lượng $\frac{M}{m}$ thì vận tốc cần truyền ở trên đạt được là nhỏ nhất? Tìm vận tốc ấy khi này.

2. Giả sử khối trụ không thể trượt theo phương ngang mà có thể quay quanh một trục thẳng đứng qua tâm của hình cầu khoét với tốc độ góc không đổi là $\Omega$ với ${\Omega }^2\mathrm{R>g}$, vật m lúc này được đặt nhẹ nhàng ở một vị trí với bán kính từ tâm tới vật hợp với phương thẳng đứng góc (Hình 1b).

a) Tìm vị trí mà vật m coi như nằm yên với khối M. Biện luận các điều kiện để có cân bằng bền, không bền và phiếm định.

b) Ở vị trí cân bằng bền kích thích cho vật dời khỏi đó một góc nhỏ, vật sẽ dao động với tốc độ góc là bao nhiêu, nếu ${\Omega }^2=\sqrt{3}\frac{g}{R}$, và khi đó góc cân bằng ${\alpha }_0$ là bao nhiêu?

Xét một bọt khí có bán kính $R$, chìm trong nước với khối lượng riêng $\rho$. Ở trạng thái cân bằng, áp suất bên trong và bên ngoài bọt khí là $p_0$, nếu không tính đến sức căng bề mặt của nước. Giả sử không khí là một khí lý tưởng lưỡng nguyên tử. Sau một sự nhiễu loạn nhỏ, bọt khí bắt đầu dao động theo hướng xuyên tâm với một tần số nhất định. Các bước sau đây sẽ giúp bạn tìm ra tần số này. Điều này có thể được thực hiện bằng cách biểu diễn thế năng của bọt khí dao động dưới dạng $A{x}^2$, và động năng dưới dạng $B(\mathrm{dx}/\mathrm{dt}{)}^2$, trong đó $x$ là sự thay đổi nhỏ của bán kính. Khi đó tần số sẽ bằng $\omega =\sqrt{A/B}$.

A1. Tìm lực hồi phục của áp suất tác dụng lên một diện tích nhỏ $\mathrm{dS}$ trên bề mặt bọt khí, khi bán kính của nó thay đổi một cách đoạn nhiệt từ $R$ đến $R+x,(x\ll R)$.

A2. Tìm năng lượng cần thiết để thay đổi $x$ từ 0 đến một giá trị nhỏ $x_0$.

A3. Vận tốc xuyên tâm của nước trên bề mặt bọt khí bằng $\mathrm{dx}/\mathrm{dt}$. Với việc nước không nén được, hãy tìm vận tốc xuyên tâm của nước ở khoảng cách $r(r>R)$ từ tâm bọt khí.

A4. Tìm động năng toàn phần của nước.

A5. Nếu bỏ qua khối lượng của không khí, động năng được tìm thấy ở phần trước sẽ là động năng của bọt khí dao động. Tìm tần số dao động.

2. Bây giờ ta xem xét ảnh hưởng của sức căng bề mặt. Hệ số sức căng bề mặt $\sigma$ được xác định là năng lượng cần thiết để tạo ra một đơn vị diện tích bề mặt $(W=\mathrm{\sigma S})$.

B1. Tìm đóng góp của sức căng bề mặt vào năng lượng cần thiết để tạo ra một bọt khí có bán kính $R$ trong nước.

B2. Tìm tần số dao động của bọt khí, bao gồm cả ảnh hưởng của sức căng bề mặt nước. Giả sử áp suất bên ngoài bọt khí bằng $p_0$.

Phần 1. Hai quả cầu nhỏ tích điện được gắn ở hai đầu của một thanh cứng cách điện có chiều dài $l$ đặt thẳng đứng. Điện tích $Q_2$ của quả cầu dưới đã biết, điện tích $Q_1$ của quả cầu phía trên chưa biết. Quả cầu nhỏ thứ ba có trọng lượng không đáng kể, mang điện tích $q$, được buộc vào thanh cách điện bằng một sợi chỉ không dẫn điện có chiều dài $R$ tại vị trí cách điện tích $Q_1$ một khoảng $l_1$. Tất cả các điện tích cùng dấu. Người ta sử dụng hệ trên để đo độ lớn của điện tích chưa biết $Q_1$. Chọn chiều dài dây thỏa mãn $R\text{>max}\left(l_1;l-l_1\right)$. Khi $q$ cân bằng, góc tạo bởi sợi chỉ và thanh là $\beta \text{∈(0,}\pi )$.

a. Xác định biểu thức độ lớn của điện tích $Q_1$.

b. Xác định giá trị tới hạn lớn nhất $Q_{\max }$ và nhỏ nhất $Q_{\min }$ của phép đo.

Phần 2.

a) Hãy xem xét một tấm kim loại nhôm dẫn điện mỏng, có độ dẫn riêng $\sigma$, chiều dài $L$, chiều rộng $W$ và độ dày $\delta \ll L$. Nếu bên trong tấm này tồn tại một từ trường đồng nhất có cảm ứng từ là một hàm tuần hoàn theo thời gian, được biểu diễn như trong hình, $B(t)=B_0\text{cos⁡(}\mathrm{\omega t})$, hãy xác định công suất trung bình của tổn thất Joule trong tấm kim loại này.

Gợi ý: Từ trường biến thiên sẽ cảm ứng ra một điện trường xoáy, dẫn đến sự xuất hiện của dòng điện xoáy. Chia tấm kim loại mỏng này thành các phần dẫn điện tương ứng mà dọc theo đó có các dòng điện xoáy chảy, sau đó tìm công suất tổn thất Joule cho từng phần. Cuối cùng, cộng tổng công suất của tất cả các phần để tìm tổng công suất.

b) Trong trường hợp tấm kim loại dẫn điện không phải là nhôm mà được làm từ vật liệu phi tuyến tính từ tính, với đặc tuyến $B-H$ được biểu diễn như trong hình, hãy xác định biểu thức cho năng lượng từ tính chuyển hóa thành nhiệt trong một chu kỳ. Các đại lượng được ký hiệu trong hình được coi là đã biết.

c) Nếu tấm kim loại dẫn điện phi tuyến từ tính này vào bên trong một solenoid mà dòng điện chạy qua solenoid là hàm sóng điều hòa theo thời gian với tần số 50 Hz, tấm kim loại sẽ nóng lên 5°C trong 1 phút. Nếu tần số dòng điện là 100 Hz, tấm kim loại sẽ nóng lên 14°C trong 1 phút. Hỏi tấm kim loại sẽ nóng lên bao nhiêu độ sau 1 phút nếu tần số dòng điện là 60 Hz? Bỏ qua quá trình trao đổi nhiệt giữa tấm kim loại và không khí xung quanh. Biên độ dòng điện là hằng số và có giá trị $I_0=\frac{H_m}{n}$, trong đó $n$ là số vòng dây trên một đơn vị chiều dài của solenoid.

Ống ngắm sử dụng trong trắc địa có thể coi là một kính thiên văn cỡ nhỏ có vật kính và thị kính được đặt đồng trục có cấu tạo gồm:

- Vật kính O1 là một thấu kính hội tụ mỏng, tiêu cự $f_1\text{=20 cm}$ và đường kính đường rìa là $D_1\text{=3 cm.}$

- Thị kính là một hệ gồm hai thấu kính hội tụ mỏng O2 và O3 đặt cố định và đồng trục, cách nhau đoạn $O_2{O}_3\text{=2 cm.}$ Thấu kính phía trước là O2 có tiêu cự $f_2\text{=3 cm,}$ thấu kính phía sau là O3 có tiêu cự $f_3\text{=1cm.}$ Đường kính đường rìa của hai thấu kính O2 và O3 là$D_2=D_3\text{=0,7 cm.}$

Khi đo đạc, ống ngắm được đặt nằm ngang và hướng vào điểm chính giữa của một chiếc thước dài đặt thẳng đứng. Thước đặt cách vật kính O1 một đoạn d1. Người quan sát đặt mắt ngay sát sau thấu kính O3 của thị kính và điều chỉnh khoảng cách giữa vật kính và thị kính để ngắm chừng ở điểm cực viễn. Biết người quan sát có điểm cực viễn cách mắt đoạn $O{C}_V\text{=50cm}$ và khoảng cách giữa vật kính và thị kính khi đó là $O_1{C}_2\text{=19,5cm.}$

1. Tính d1 và số bội giác của ống ngắm.

2. Qua kính người này nhìn thấy một đoạn của thước. Tính chiều dài của đoạn thước đó.

3. Ống ngắm trên vẫn giữ nguyên số bội giác đối với người quan sát nếu thay thị kính kép bằng một thấu kính mỏng mới. Tìm tiêu cự của thấu kính mới này và tính khoảng cách giữa nó và vật kính. Biết mắt vẫn đặt sát sau thị kính mới.

Xét hệ trạng thái liên kết gồm hạt nhân Heli ${\mathrm{He}}^{\mathrm{2+}}$, muon $\mu$ và electron $e$. Muon $\mu$ là một lepton thế hệ thứ hai có tính chất vật lý cơ bản (điện tích, spin, v.v.) tương tự như electron, nhưng có khối lượng $m_{\mu }\text{=206,8}{m}_e$. Vì muon $\mu$ ở đủ gần hạt nhân nên muon $\mu$ và hạt nhân có thể coi là một hạt duy nhất, các electron bên ngoài chuyển động tròn quanh hạt nhân từ đó khiến hệ tương đương với hạt nhân Hydro siêu nặng ${}^{\mathrm{4,1}}{H}^{+}$có khối lượng gấp khoảng 4,1 lần hạt nhân Hydro (proton). Cho biêt:

Khối lượng proton: $m_p\text{=1836}{m}_e$

Khối lượng neutron: $m_n\text{=1839}{m}_e$

Khối lượng hạt $\alpha :m_{\alpha }\text{=7294}{m}_e$

Năng lượng nghỉ của electron: $m_e{c}^2\text{=0,511MeV}$

Hằng số cấu trúc tinh thể: $\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\mathrm{\hslash c}}=\frac{1}{137}$

1. Tìm năng lượng liên kết khi hai proton và hai neutron kết hợp với nhau tạo thành hạt nhân Heli ${\mathrm{He}}^{\mathrm{2+}}$.

2. Tìm năng lượng liên kết khi hạt nhân ${\mathrm{He}}^{\mathrm{2+}}$ kết hợp với muon $\mu$ tạo thành hạt nhân Hydro siêu nặng ${}^{\mathrm{4,1}}{H}^{+}$ở trạng thái cơ bản.

3. Tìm năng lượng liên kết khi trạng thái cơ bản ${}^{\mathrm{4,1}}{H}^{+}$của hạt nhân Hydro siêu nặng kết hợp với electron $e$ tạo thành trạng thái cơ bản ${}^{\mathrm{4,1}}H$ của nguyên tử Hydro siêu nặng.

4. Lúc này, một chùm nguyên tử như vậy gồm các nguyên tử hydro siêu nặng ${}^{\mathrm{4,1}}H$ được phát ra về phía trước với tốc độ $v$ trong HQC phòng thí nghiệm. Và các muon $\mu$ trong nó phân rã do mất ổn định:

$$\mu \to e+v_{\mu }+{\bar{v}}_e$$

Hai neutrino $v_{\mu },{\bar{v}}_e$ do phản ứng tạo ra đều có thể coi là những hạt có khối lượng nghỉ không đáng kể, các electron sinh ra do phản ứng thoát ra khỏi nguyên tử với tốc độ rất cao. Các hạt nhân Heli và electron còn lại sẽ chuyển sang trạng thái cơ bản của ion Heli mà không có bức xạ. Thí nghiệm cho thấy góc cực đại giữa hướng phát xạ cuối cùng của các ion Heli và hướng của chùm tia tới của nguyên tử hydro siêu nặng là ${30}^{\circ }$. Tìm vận tốc $v$ của chùm tia nguyên tử Hydro siêu nặng.

----HẾT----