TH04: Đề ôn tập tổng hợp - số 04

Một tên lửa là một ví dụ về hệ thống có khối lượng thay đổi vì khối lượng của nó bị đẩy ra ngoài với một tốc độ ban đầu nhất định. Giả sử có một tên lửa có khối lượng $M_0$ mang nhiên liệu với khối lượng $m_0$. Loại tên lửa này có thể phun nhiên liệu với tỷ lệ $\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm{dt}}=-\gamma$ và vận tốc $v_e$ so với tên lửa theo hướng ngược lại với vận tốc chuyển động của tên lửa.

1. Phương trình Tên lửa

a. Tên lửa trong bài toán sau được cho di chuyển trong không gian trống, không có ma sát và trọng lực. Giả sử khối lượng tổng của tên lửa tại mỗi thời điểm có thể được viết là $M$ và vận tốc của tên lửa tại mỗi thời điểm có thể được viết là $v$. Khi tên lửa bắt đầu phun nhiên liệu của nó, trong khoảng thời gian rất nhỏ tên lửa sẽ nhận được một khối lượng nhỏ rất nhỏ là $\mathrm{dM}$ (giá trị âm) và tăng tốc độ nhỏ là $\mathrm{dv}$ (giá trị dương). Viết phương trình động lượng của tên lửa trước và sau khi phun nhiên liệu của nó.
b. Viết phương trình khối lượng tổng của tên lửa như một hàm của thời gian.

c. Giả sử có một xung lực $I\left(t\right)$ tác dụng lên tên lửa trong quá trình chuyển động của nó thì xung lực này là độ lớn thay đổi động lượng của tên lửa. Sử dụng kết quả bạn thu được từ phần $a$. Xác định độ lớn xung lực.

Gợi ý: Bạn có thể bỏ qua bậc hai vì giá trị nhỏ như $\text{dMdV}$ và $\text{dvdM}$ có thể được bỏ qua.
d. Với việc lấy đạo hàm theo thời gian phương trình tại $c$, viết phương trình mà bạn có được

$\frac{\mathrm{dI}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=$ $F$. Phương trình này được gọi là phương trình tên lửa.

2. Tên lửa với lực ma sát

Một tên lửa được khởi động từ trạng thái đứng yên với các tham số như trong bài toán ở ý $1$, nhưng trên bề mặt có hệ số ma sát $\mu$. Xác định thời gian tính từ lúc tên lửa bắt đầu di chuyển đến khi tên lửa dừng lại.

Plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, theo đó một chất khí bị ion hóa có chứa các electron, ion và các hạt trung hòa điện. Ở trạng thái plasma, mật độ hạt và nhiệt độ của hệ thay đổi trong một phạm vi rất rộng, do đó các hiệu ứng vật lý xuất hiện rất phức tạp. Hiện nay, người ta đề xuất rất nhiều mô hình plasma, trong bài toán này chúng ta tìm hiểu về mô hình plasma một thành phần.

Xét mô hình plasma không có các hạt trung hòa điện mà chỉ có các hạt nhân đơteri mang điện tích dương chuyển động trên nền tích điện đều được tạo bởi các electron, mô hình này gần giống plasma xuất hiện ở trung tâm của các sao lùn trắng và các hành tinh khổng lồ như Sao Mộc. Biết rằng hạt nhân đơteri có điện tích e = 1,602.10-19C, khối lượng m = 3,44.10-24g, mật độ n = 1,62.1027 cm-3 ở nhiệt độ T = 1,76.104 K. Ở mô hình này, mỗi hạt nhân đơteri ở vị trí trung tâm của một ô mạng khối lập phương, có hình chiếu hai chiều như Hình 2.1, mỗi khối lập phương như vậy được gọi là một ô mạng cơ sở. Điện trường do các ô mạng này tạo ra rất phức tạp, do đó để đơn giản, ta coi các ô mạng cơ sở này là hình cầu, có hình chiếu hai chiều được mô tả trong Hình 2.2.

Cho biết: hằng số Boltzmann kB = 1,38.10-23J/K, hằng số điện trong chân không ε0 = 8,85.10-12 F/m.

a) Nội năng U của khối plasma một thành phần chứa N ô mạng cơ sở hình cầu, thể tích V, có biểu thức:

$$U={\alpha }_{1}N+{\alpha }_2\frac{N^{4/3}}{V^{1/3}}$$

Xác định các hằng số α1 và α2.

b) Cho một trạng thái nhiệt động của hệ được mô tả bằng một điểm trên giản đồ áp suất (P) - thể tích (V). Trong giản đồ này (Hình 2.3),

xét một quá trình gồm hai đường đẳng nhiệt AB và CD, hai đường thẳng BC và AD. Sự thay đổi về thể tích, nhiệt độ và áp suất trong quá trình này được coi là rất nhỏ sao cho ABCD là một hình bình hành. Sử dụng chu trình trên, viết biểu thức liên hệ giữa ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T$và ${\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$,

trong đó ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T$là đạo hàm riêng của nội năng theo thể tích ở nhiệt độ không đổi và ${\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$là đạo hàm riêng của áp suất theo nhiệt độ ở thể tích không đổi.

c) Áp suất P của khối plasma một thành phần, chứa N ô mạng cơ sở hình cầu, thể tích V, có biểu thức:

$$P={\beta }_1\frac{N}{V}+{\beta }_2{\left(\frac{N}{V}\right)}^{{\beta }_3}$$

Xác định các hằng số β1, β2 và β3.

Chất điện môi được đặt trong một điện trường bên ngoài sẽ bị phân cực, tức là xảy ra sự dịch chuyển một phần của các điện tích (các electron và hạt nhân). Do đó, trên bề mặt của chất điện môi đồng nhất sẽ xuất hiện các điện tích cảm ứng (điện tích phân cực), chúng tạo ra một điện trường riêng cả bên trong lẫn bên ngoài chất điện môi. Nếu các đường sức của điện trường ở mọi điểm trên biên giới của chất điện môi đều vuông góc với biên giới này, thì cường độ điện trường bên trong chất điện môi sẽ nhỏ hơn $\epsilon$ lần so với cường độ điện trường khi không có chất điện môi (ở đây $\epsilon$ là hằng số điện môi của chất điện môi). Trong nhiệm vụ này, bạn cần thể hiện sự hiểu biết về cơ chế thay đổi điện trường được mô tả trong chất điện môi.

Phần 1: Trường đều

1.1 Một mặt phẳng tích điện đều vô hạn có mật độ điện tích bề mặt $\sigma$ tạo ra một điện trường đều có cường độ $\overrightarrow{E}$. Hãy biểu diễn cường độ điện trường $E$ được tạo ra bởi các điện tích trên tấm phẳng theo mật độ điện tích bề mặt $\sigma$ của chúng.

1.2 Một tấm phẳng song song không tích điện, được làm từ chất điện môi có hằng số điện môi $\epsilon$, được đặt trong một điện trường đều có cường độ ${\overrightarrow{E}}_0$. Các đường sức của điện trường vuông góc với tấm.

1.2 Tìm mật độ điện tích cảm ứng trên tấm kim loại ${\sigma }^{\text{'}}$. Biểu diễn giá trị mật độ này:

a) Theo cường độ điện trường $E_0$ bên ngoài tấm kim loại.

b) Theo cường độ điện trường $E$ bên trong tấm kim loại.

1.3 Các đường sức của điện trường vuông góc với mặt phẳng phân cách của một chất điện môi đồng nhất có hằng số điện môi $\epsilon$ (mặt phân cách phía dưới nằm ở xa vô cùng). Cường độ điện trường phía trên chất điện môi bằng ${\overrightarrow{E}}_1$.

Tìm mật độ điện tích bề mặt cảm ứng ${\sigma }^{\text{'}}$ trên bề mặt phân cách. Biểu diễn nó theo cường độ điện trường bên trong điện môi $E_2$.

1.4 Tụ điện phẳng bao gồm hai bản dẫn song song có diện tích $S$, cách nhau một khoảng $d$, với $d$ nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các bản. Giữa hai bản này có một tấm phẳng không dẫn điện có độ dày $d\mathrm{/3}$, được đặt song song với các bản của tụ điện. Trên các bản của tụ điện, các điện tích được phân bố đều với mật độ điện tích bề mặt là $\pm {\sigma }_0$.

1.4.1 Tìm mật độ điện tích bề mặt ${\sigma }_1^{\text{'}}$ và ${\sigma }_2^{\text{'}}$ trên các bề mặt của tấm điện môi (chỉ rõ dấu của các điện tích này).

1.4.2 Tìm điện dung $C_0$ của tụ điện này.

1.4.3 Tìm áp suất mà điện trường tác dụng lên một trong các mặt của tấm điện môi. Chỉ ra xem tấm điện môi bị kéo giãn hay nén lại dưới tác dụng của điện trường.

Phần 2: Trường nghiêng

2.1 Các đường sức của điện trường đều có cường độ ${\overrightarrow{E}}_1$ tạo thành một góc ${\alpha }_1$ với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách giữa điện môi có hằng số điện môi $\epsilon$. Bên trong điện môi, vectơ cường độ điện trường đều ${\overrightarrow{E}}_2$ tạo thành một góc ${\alpha }_2$ với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách điện môi.

2.1.1 Tìm "định luật khúc xạ" của đường sức, tức là mối quan hệ giữa các góc ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ và hằng số điện môi $\epsilon$.

2.1.2 Tìm tỷ số giữa các độ lớn cường độ điện trường $\frac{E_2}{E_1}$ như một hàm của hằng số điện môi $\epsilon$ và góc ${\alpha }_1$.

2.2 Bản điện môi của tụ điện mô tả ở phần 1.4 được quay một góc $\alpha$.

2.2.1 Tìm điện dung của tụ $C$ khi quay bản tụ.

2.2.2 Tìm sự thay đổi tương đối của điện dung của tụ điện $\frac{C-C_0}{C_0}$ khi quay bản tụ một góc nhỏ $\alpha$. ( $C_0$ là điện dung của tụ điện nêu ở phần 1.4.2.

Ghi chú: Giả sử rằng khi xoay tấm điện môi, sự phân bố các điện tích trên các bản của tụ điện và trên các mặt của tấm điện môi vẫn đồng đều, và điện truờng trong các khe giũ̃a các bản của tụ điện vẫn đồng nhất và vuông góc với các bản của tụ điện.

Phần 1.

Vào một ngày hè nóng nực, khi nhiệt độ không khí đạt tới $t_1={35}^{\circ }C$, nhiệt độ của nhựa đường dưới ánh nắng Mặt Trời và lớp không khí mỏng phía trên nó là $t_2\mathrm{=65}{}^{\circ }C$. Khi đi bộ trên đường cao tốc trong thời tiết khô như vậy, thường có thể nhìn thấy "vũng nước" trên đường. Chiết suất của không khí phụ thuộc tuyến tính vào mật độ không khí: $n\mathrm{=1+}\mathrm{k\rho }$. Ở $t_0=0^{\circ }C$, $n_0\text{=1.000292}$. Giả sử chiều cao của con người là $H\text{=1.8}$ m.

Ở khoảng cách tối thiểu $L_{\text{min }}$nào thì có thể nhìn thấy "vũng nước"? Hãy biểu diễn câu trả lời thông qua các đại lượng $H,n_0,T_0,T_1,T_2$ và tính toán giá trị thu được.

Phần 2. Quang học của bình mỏng

Một bình thủy tinh thành mỏng có đáy hình bán cầu với bán kính $R$ được đổ đầy một phần nước. Trên bề mặt nước (ở tâm, trên trục đối xứng thẳng đứng) có một nguồn sáng điểm "nổi". Mực nước hạ xuống rất chậm do rò rỉ qua một lỗ nhỏ trên thành bình. Tốc độ "hao hụt" nước là không đổi (lỗ rò được "thiết kế" như vậy) và bằng $\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm{dt}}=-\mu$. Xác định tọa độ của ảnh nguồn sáng và tốc độ chuyển động của nó tại thời điểm mực nước trùng với mặt phẳng của bán cầu (cách đáy bình một khoảng $R$). Khối lượng riêng của nước là $\rho$, chiết suất của nước là $n\text{=4/3}$.

Năm 1913, Niels Bohr lần đầu tiên đưa ra công thức tính mức năng lượng của nguyên tử hydro. Ông giả định rằng electron đơn lẻ chuyển động trên quỹ đạo tròn xung quanh một proton có khối lượng lớn hơn electron rất nhiều dưới tác dụng của lực tĩnh điện, và quỹ đạo của electron có mô-men động lượng được lượng tử hóa.

(1) Biết điện tích của electron là $e$, khối lượng của electron là $m$, hằng số điện môi của chân không là ${\epsilon }_0$, và hằng số Planck là $h$, hãy tìm biểu thức của mức năng lượng $E_n$ của nguyên tử hydro.

(2) Có hai nguyên tử hydro $A$ và $B$ đều đang ở trạng thái cơ bản, với $B$ đứng yên và $A$ chuyển động với vận tốc cao va chạm với $B$. Biết rằng sau va chạm, vận tốc của hai nguyên tử nằm trên cùng một đường thẳng và một phần động năng trong quá trình va chạm có thể được hấp thụ bởi một nguyên tử hydro nào đó, khiến nguyên tử này chuyển từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thích. Sau đó, nguyên tử này chuyển xuống mức năng lượng thấp hơn và phát ra một photon. Biết khối lượng nghỉ của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản là $m_0$, và mức năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro là $E_1$. Để phát ra một photon sau va chạm, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng năng lượng $E_{\min }$ của nguyên tử hydro tới, có xét đến hiệu ứng tương đối tính.

(3) Tiếp theo câu (2), nếu năng lượng của nguyên tử hydro tới bằng giá trị nhỏ nhất $E_{\min }$ ở câu (2), và cuối cùng phát ra một photon theo hướng tới, xét rằng $\mid E_1\mathrm{\mid \ll }{m}_0{c}^2$, hãy tìm tần số của photon được phát ra.

------HẾT-----