TH03: Đề ôn tập tổng hợp - số 03

Một đĩa mỏng đồng nhất có bán kính $R$; trên đó người ta khoét một lỗ tròn có bán kính $r=R\mathrm{/2}$ với tâm của lỗ cách tâm C của đĩa một khoảng $R\mathrm{/2}$ (xem hình bên trái); $M$ là khối lượng của vật thể thu được.

1. Xác định vị trí của trọng tâm vật thể (được ký hiệu là CdM), chứng minh rằng khoảng cách từ CdM đến tâm đĩa C là $d=R\mathrm{/6}$.

Phần thứ nhất.

Vật thể được đặt thẳng đứng trên mép của nó, trên một mặt phẳng nằm ngang. Vị trí của nó được mô tả bởi tọa độ $x$ của tâm C và góc định hướng $\theta$ giữa đường thẳng đứng đi qua C và đường nối hai tâm, như minh họa trong hình bên phải.

Khi vật thể di chuyển, nó luôn lăn mà không trượt, và luôn giữ trong cùng một mặt phẳng đứng.

2. Tìm các vị trí cân bằng của vật thể và xác định vị trí nào là cân bằng bền và vị trí nào là cân bằng không bền, giải thích lý do.

3. Chứng minh rằng mô-men quán tính của vật thể đối với điểm tiếp xúc, khi nó ở trạng thái cân bằng bền, bằng $\text{(29/24)}M{R}^2$.

Vật thể được đặt ở $x\mathrm{=0}$ với $\theta \mathrm{=0}$ và sau đó được xoay về bên phải đến góc $\mathrm{0<}{\theta }_0\mathrm{\ll 1}$. Khi được thả ra, nó bắt đầu dao động.

4. Chứng minh rằng, khi chọn mốc thế năng hấp dẫn bằng không ở vị trí cân bằng bền, năng lượng toàn phần có dạng giống với năng lượng của một vật có khối lượng $\mu$ gắn vào một lò xo có độ cứng $k$, và có thể viết dưới dạng:

$$E=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2+\frac{1}{2}k{\theta }^2$$

với $\omega \mathrm{=d}\theta \mathrm{/d}t$ và $\mu$ và $k$ là các hàm của các tham số của bài toán.

Lưu ý: trong trường hợp tổng quát, mô-men quán tính đối với điểm tiếp xúc phụ thuộc vào góc $\theta$; tuy nhiên, đối với những dao động nhỏ, có thể coi nó là hằng số.

5. Viết phương trình chuyển động theo thời gian cho tọa độ $\theta$ và chỉ ra biểu thức của chu kỳ dao động.

Phần thứ hai.

Bây giờ giả sử đĩa chuyển động lăn thuần túy sao cho vận tốc $\overrightarrow{v}$ của tâm C là hằng số. Để có chuyển động này, một lực nằm ngang $\overrightarrow{F}\left(t\right)$ được tác dụng vào điểm C; giả sử $\theta \mathrm{=0}$ tại thời điểm $t\mathrm{=0}$.

6. Chứng minh rằng mô-men động lượng đối với điểm C, theo hàm của thời gian, trong hệ quy chiếu quán tính gắn liền với điểm C, là hằng số.

7. Tìm biểu thức theo thời gian và theo các tham số của bài toán cho lực ma sát $\overrightarrow{A}\left(t\right)$, phản lực pháp tuyến của mặt phẳng $\overrightarrow{N}\left(t\right)$, và $\overrightarrow{F}\left(t\right)$.

8. Tìm điều kiện đối với vận tốc $v$ để vật thể không rời khỏi mặt phẳng nằm ngang, ký hiệu vận tốc giới hạn là $v^{\star }$.

9. Hệ số ma sát nghỉ nhỏ nhất cần phải có là bao nhiêu để vật luôn lăn thuần túy?

Ở khu vực mặt đất, khối không khí nóng sẽ bay lên cao hơn. Đồng thời, khối không khí này sẽ giãn nở và nhiệt độ giảm xuống. Do trong không khí có một ít hơi nước, khi khối không khí bay lên cao hơn và nhiệt độ giảm xuống đến mức nhiệt độ điểm sương (nhiệt độ điểm ngưng tụ - dew point temperature), không khí sẽ bão hòa với hơi nước (độ ẩm tương đối đạt 100%). Khi khối không khí tiếp tục bay lên cao hơn, nhiệt độ của nó sẽ tiếp tục giảm, khiến hơi nước trong khối không khí ngưng tụ thành các giọt nước, từ đó tạo thành mây. Ta sẽ gọi khối không khí chưa có sự ngưng tụ hơi nước là không khí khô, và khi đã ngưng tụ thì gọi là không khí ẩm. Hình 1 mô tả giai đoạn khối không khí khô giãn nở và bay lên ở độ cao $\mathrm{0\le }z\le z_1$, và giai đoạn khối không khí ẩm bay lên và giãn nở sau khi đã ngưng tụ ở độ cao $z_1\le z\le z_2$. Khối không khí ở hai giai đoạn này có tốc độ giảm nhiệt độ khác nhau. Trong bài toán này, ta sẽ xem khối không khí gồm có phần là khí lý tưởng và phần là hơi nước. Giả sử áp suất của khối không khí là áp suất của khí lý tưởng, phần hơi nước và giọt nước không ảnh hưởng đến áp suất.

Hình 1. Không khí khô ở độ cao thấp hơn $z_1$ và không khí ẩm ở độ cao cao hơn $z_1$.

Trạm khí tượng $S_0$ ở mặt đất đo được áp suất $p_0$ và nhiệt độ $T_0$. Tại trạm $S_1$ ở độ cao $z_1$ từ mặt đất, nơi hơi nước bắt đầu ngưng tụ, áp suất đo được là $p_1$. Và tại trạm $S_2$ trên đỉnh núi ở độ cao $z_2$, áp suất đo được là $p_2$.

Trong bài toán này, khí lý tưởng (lưỡng nguyên tử) $n$ mol ở nhiệt độ $T$ có nội năng $U\text{=(5/2)}\mathrm{nRT}$, và sự thay đổi áp suất $\Delta p$, thể tích $\Delta V$, và nhiệt độ $\Delta T$ tuân theo phương trình $p\Delta V+V\Delta p=\mathrm{nR}\Delta T$.

Phần 1: Không khí khô

Trong phần này, hãy xem xét phần không khí là khí lý tưởng (lưỡng nguyên tử). Giả sử quá trình giãn nở của khí lý tưởng tuân theo quá trình đoạn nhiệt (adiabatic), có nhiệt dung mol đẳng áp là $c_p\mathrm{=7}R\mathrm{/2}$, và nhiệt dung mol đẳng tích là $c_V\mathrm{=5}R\mathrm{/2}$, trong đó $R$ là hằng số khí lý tưởng.

1. Trong quá trình đoạn nhiệt, ta có thể viết mối quan hệ giữa nhiệt độ $T$ và áp suất $p$ của khí lý tưởng dưới dạng $T\propto p^k$ . Hãy xác định giá trị của hằng số $k$.

2. Hãy tìm nhiệt độ $T_1$​ của khí lý tưởng tại trạm $S_1$​ (trả lời dưới dạng $T_0$, $p_0$​ và $p_1$).

Áp suất của khí lý tưởng thay đổi theo độ cao $z$ từ mặt đất theo phương trình:

$$\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dz}}=-\mathrm{\rho g}$$

trong đó $\rho$ là mật độ của khí lý tưởng và $g$ là gia tốc trọng trường, được coi là không thay đổi.

3. Chứng minh rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ theo độ cao là:

$$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=-\alpha ,\alpha =\frac{2\mathrm{g\mu }}{7R}$$

trong đó $\mu$ là khối lượng phân tử trung bình của khí lý tưởng (khối lượng của 1 mol khí). Khi thay giá trị vào, ta thu được $\alpha ={9.78}^{\circ }\mathrm{C.}{\mathrm{km}}^{\mathrm{-1}}$.

4. Tìm độ cao $z_1$ của trạm $S_1$​ (trả lời dưới dạng $T_0$, $p_0$​, $p_1$​ và các hằng số khác). 

Phần 2: Không khí ẩm

Trong không khí có một ít hơi nước. Khi nhiệt độ giảm xuống một giá trị nhất định, được gọi là nhiệt độ điểm sương (dew point temperature), không khí sẽ bão hòa với hơi nước (chứa tối đa hơi nước, với độ ẩm tương đối đạt 100%). Khi khối không khí tiếp tục bay lên cao và nhiệt độ tiếp tục giảm, chứa hơi nước của không khí sẽ giảm xuống, khiến hơi nước dư thừa ngưng tụ thành giọt nước và tạo thành mây. Do ta coi không khí bao gồm phần khí lý tưởng và phần hơi nước, khi phần hơi nước ngưng tụ thành giọt nước, nó sẽ tỏa nhiệt cho phần khí lý tưởng, làm cho tốc độ thay đổi nhiệt độ theo độ cao của khí lý tưởng nhỏ hơn $\alpha$.

Hình 2 biểu diễn đồ thị về mối quan hệ giữa $\beta$, là tỷ lệ khối lượng của hơi nước so với khối lượng khí lý tưởng, ở các nhiệt độ điểm sương khác nhau. Giả sử khối không khí có độ ẩm tương đối luôn bằng 100% từ độ cao $z_1$ và nhiệt độ $T_1$ cho đến đỉnh núi với độ cao $z_2$ và nhiệt độ $T_2$. Giả sử rằng nhiệt lượng hóa hơi $L_v$ là hằng số.

$$\beta =\frac{\text{ Khối}\text{lượng hơi nước}}{\text{ Khối}\text{lượng khí lý tưởng}}\left(\times {10}^{\mathrm{-3}}\right)$$

Hình 2.2: Tỷ số giữa khối lượng hơi nước mà không khí có thể mang theo với khối lượng khí lý tưởng ở các nhiệt độ điểm sương khác nhau.

5. Xét khối khí lý tưởng lưỡng nguyên tử với $n$ mol và thể tích $V$, hãy viết phương trình nhiệt lượng mà khí này nhận được dưới dạng sự thay đổi nhiệt độ $\Delta T$ và sự thay đổi áp suất $\Delta p$.

6. Chứng minh rằng sự thay đổi nhiệt độ của khí lý tưởng:

$$T_2-T_1=-\alpha \left(z_2-z_1\right)-\frac{\alpha L_v}{g}\Delta \beta$$

trong đó $\Delta \beta =\beta \left(T_2\right)-\beta \left(T_1\right)$

Từ phương trình trên, ta thấy rằng sự thay đổi nhiệt độ bao gồm hai phần: phần đầu là kết quả của sự giãn nở đoạn nhiệt của khí lý tưởng như trong không khí khô, và phần thứ hai là hạng tử điều chỉnh, là kết quả của sự ngưng tụ hơi nước.

Các điều kiện cho trước:

Tại trạm $S_0$, có $p_0\text{=100 kPa}$ và $T_0={20.0}^{\circ }C$

Tại trạm $S_1$ có $p_1\text{=84.2 kPa}$

Tại trạm $S_2$ có $p_2\text{=70.0 kPa}$

Nhiệt lượng hóa hơi $L_v\text{=2.5×}{10}^6\mathrm{J\cdot }{\mathrm{kg}}^{\mathrm{-1}}$

Hằng số khí lý tưởng $R\text{=8.31}\mathrm{J\cdot }{\mathrm{mol}}^{\mathrm{-1}}\cdot K^{\mathrm{-1}}$

Khối lượng phân tử của khí lý tưởng $\mu \text{=29.0×}{10}^{\mathrm{-3}}\mathrm{kg\cdot }{\mathrm{mol}}^{\mathrm{-1}}$

Gia tốc do trọng trường $g\text{=9.81}\mathrm{m.}{s}^{\mathrm{-2}}$

7. Tính giá trị $T_1$ (đơn vị độ C), $z_1$ và $z_2$. Gợi ý: Để tìm $z_2$, có thể xấp xỉ bằng quá trình giãn nở đoạn nhiệt.

8. Tính nhiệt độ $T_2$ (đơn vị độ C).

9. Tính tốc độ thay đổi nhiệt độ trung bình theo độ cao từ trạm $S_1$ đến $S_2$.

Như hình, hình ảnh cho thấy cấu trúc bên trong của một xe lửa từ tính: hai nam châm được gắn vào một cục pin và đặt chúng bên trong một ống dây đã được quấn sẵn. Cục pin sẽ tự động bắt đầu chuyển động (dựa vào điều này, không thể chế tạo ra động cơ vĩnh cửu). Sau đây là nghiên cứu về động lực học của xe lửa nhỏ, với các điều kiện hoặc giả định (a)-(d) sau:

Trong hình này, tỉ lệ bán kính giữa pin và vòng dây khác với dữ kiện cho trong đề

(a) Giả sử bán kính của ống dây là $R_1$​, trên một đơn vị chiều dài của ống dây có quấn $n$ vòng dây dẫn, điện trở của mỗi đơn vị chiều dài dây dẫn là $r$;

(b) Mo-men từ của nam châm là $m$, độ dày có thể bỏ qua, điện trở bằng 0, mo-men từ tập trung ở một điểm tại trung tâm, khi có dòng điện đi qua nam châm thì mo-men từ không thay đổi;

(c) Suất điện động của pin là $\epsilon$, điện trở trong là $r_0$​, trong suốt quá trình này suất điện động và điện trở trong của pin có thể coi là không đổi, pin và ống dây có đường kính bằng nhau, là $d\mathrm{=2}{R}_1$​, tổng khối lượng của xe lửa nhỏ là $M$, tổng chiều dài là $L$;

(d) Pin và ống dây gần như tiếp xúc với nhau, hệ số ma sát là $\mu$;

Bây giờ hãy xem xét:

(1) Tính lực từ $F_B$​ tác dụng lên xe lửa nhỏ;

(2) Tính mối quan hệ của vận tốc theo thời gian $v\left(t\right)$;

(3) Tính tổng công suất đầu ra $P$, đạo hàm của động năng theo thời gian $P_1$​, công suất nhiệt $P_2$;

(4) Tuy nhiên, trong thí nghiệm sẽ không quan sát được kết quả trên, vì trong tính toán đã bỏ qua một hiệu ứng: Do sự thay đổi của từ trường, trong cuộn dây sẽ sinh ra một suất điện động cảm ứng ngược, rõ ràng tỷ lệ thuận với $v^{\alpha }$, tức là ${\epsilon }^{\text{'}}=-k{v}^{\alpha }$, tìm giá trị của $\alpha$ và $k$, và tính vận tốc tối đa $v_m$​.

Hai nguồn sáng kết hợp đồng thời phát ra hai bức xạ đơn sắc có bước sóng ${\lambda }_1\text{=600}\mathrm{nm}$ và ${\lambda }_2\text{=0,4}\mu m$. Khoảng cách giữa hai nguồn là $s\mathrm{=1}\mathrm{mm}$, và trên một màn chắn đặt song song với mặt phẳng chứa hai nguồn ở khoảng cách $d\text{=1,2}m$, người ta quan sát thấy một hình ảnh giao thoa. Ở giữa màn chắn có một hình vuông với cạnh $l\mathrm{=6}\mathrm{mm}$, sao cho vân sáng trung tâm nằm ở giữa hình vuông, và các vân sáng song song với hai cạnh của hình vuông.

a. Xác định vị trí trên bề mặt hình vuông mà các vân sáng trùng nhau.

b. Xác định số lượng tối đa các vân sáng riêng biệt được quan sát thấy bên trong hình vuông và vị trí của chúng.

c. Đặt một nguồn sáng thứ ba, giống hệt hai nguồn đầu tiên, ở giữa khoảng cách giữa chúng. Trước ba nguồn đặt một bộ lọc hấp thụ bức xạ có bước sóng ${\lambda }_2$. Xác định vị trí của các vân sáng và vân tối giao thoa nằm bên trong hình vuông. Tính tỷ số cường độ của hai loại vân sáng quan sát được.

Trên một xe ôtô cách người quan sát khoảng cách là s, người ta đặt cố định một nguồn phát âm với tần số không đổi f0 = 600 Hz. Ban đầu, cả ôtô và người quan sát đều đang đứng yên. Cho xe bắt đầu chạy nhanh dần đều với gia tốc a = 3 m/s2 theo đường thẳng hướng về người quan sát. Ở vị trí người quan sát, người ta đặt cố định một máy thu âm. Tần số âm thu được theo thời gian t kể từ thời điểm xe bắt đầu chuyển động (chọn làm mốc thời gian ứng với t = 0) được cho trong bảng sau:

a) Giả thiết trong thời gian âm truyền từ xe đến người quan sát, vận tốc của xe thay đổi không đáng kể. Căn cứ vào bảng số liệu thu được ở trên hãy xác định vận tốc truyền âm va.

b) Không bỏ qua sự thay đổi vận tốc của xe trong thời gian âm truyền từ xe đến người quan sát, căn cứ vào bảng số liệu thu được ở trên hãy xác định vận tốc truyền âm va và khoảng cách s ban đầu.

-----------HẾT----------