TH02: Đề ôn tập tổng hợp - số 02

Đài quan trắc sóng hấp dẫn bằng giao thoa kế laser ( Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory - LIGO) lần đầu tiên phát hiện ra sóng hấp dẫn do sự hợp nhất của hai hố đen cách đây hàng tỷ năm ánh sáng vào năm 2015, xác nhận dự đoán của thuyết tương đối của Einstein về sự tồn tại của sóng hấp dẫn và hố đen. Quá trình hợp nhất của hố đen được chia thành ba giai đoạn:

Giai đoạn đầu tiên (giai đoạn xoáy gần): Hai hố đen quay quanh tâm khối của hệ thống trên cùng một mặt phẳng theo quỹ đạo gần như tròn (xem Hình 1), năng lượng cơ học bị mất dần được chuyển hóa thành năng lượng bức xạ hấp dẫn, và hai hố đen tiến lại gần nhau theo dạng xoắn ốc.

Hình 1

Giai đoạn thứ hai (giai đoạn hợp nhất): Hai hố đen hợp nhất thành một hố đen.

Giai đoạn cuối cùng (giai đoạn suy yếu): Hố đen hợp nhất dần trở về trạng thái cân bằng, trở thành một hố đen quay ổn định.

Trong giai đoạn xoáy gần, nếu bỏ qua sự tự quay và kích thước của các hố đen, thì có thể coi hai hố đen là các chất điểm có khối lượng lần lượt là $M$ và $m$, khoảng cách giữa chúng $L$ dần dần giảm theo thời gian. Giả sử hệ thống không có mất mát năng lượng nào khác ngoài bức xạ sóng hấp dẫn và không xét đến tác động ngược của bức xạ hấp dẫn, có thể xử lý gần đúng bằng lý thuyết hấp dẫn của Newton.

1. Công suất bức xạ sóng hấp dẫn ngoài việc tỉ lệ thuận với hằng số hấp dẫn $G$, còn có thể phụ thuộc vào khối lượng của hai hố đen $M$ và $m$, khoảng cách giữa hai hố đen $L$, mô-men quán tính của hệ thống quanh tâm khối $I$, tốc độ góc quay $\omega$, và tốc độ lan truyền của sóng hấp dẫn (có giá trị bằng tốc độ ánh sáng trong chân không $c$). Hãy chọn ba đại lượng vật lý mô tả hệ thống quay cùng với $G$ để suy ra biểu thức của công suất bức xạ sóng hấp dẫn (giả sử hệ số tỷ lệ không thứ nguyên là $\alpha$).

2. Nếu vào thời điểm ban đầu $\mathrm{t=0}$, khoảng cách giữa hai hố đen là $L_0$, và hệ số tỷ lệ không thứ nguyên $\alpha$ trong biểu thức công suất bức xạ sóng hấp dẫn đã biết, hãy tính thời gian cần thiết để hai hố đen quay được $3\mathrm{60°}$ quanh tâm khối của hệ thống kể từ thời điểm $\mathrm{t=0}$.

3. Khi hai hố đen quay quanh tâm khối của hệ thống từ thời điểm $\mathrm{t=0}$, chúng phải quay bao nhiêu độ để khoảng cách giữa chúng bằng một nửa khoảng cách ban đầu?

Xét một bọt khí có bán kính $R$, chìm trong nước với khối lượng riêng $\rho$. Ở trạng thái cân bằng, áp suất bên trong và bên ngoài bọt khí là $p_0$, nếu không tính đến sức căng bề mặt của nước. Giả sử không khí là một khí lý tưởng lưỡng nguyên tử. Sau một sự nhiễu loạn nhỏ, bọt khí bắt đầu dao động theo hướng xuyên tâm với một tần số nhất định. Các bước sau đây sẽ giúp bạn tìm ra tần số này. Điều này có thể được thực hiện bằng cách biểu diễn thế năng của bọt khí dao động dưới dạng $A{x}^2$, và động năng dưới dạng $B(\mathrm{dx}/\mathrm{dt}{)}^2$, trong đó $x$ là sự thay đổi nhỏ của bán kính. Khi đó tần số sẽ bằng $\omega =\sqrt{A/B}$.

A1. Tìm lực hồi phục của áp suất tác dụng lên một diện tích nhỏ $\mathrm{dS}$ trên bề mặt bọt khí, khi bán kính của nó thay đổi một cách đoạn nhiệt từ $R$ đến $R+x,(x\ll R)$.

A2. Tìm năng lượng cần thiết để thay đổi $x$ từ 0 đến một giá trị nhỏ $x_0$.

A3. Vận tốc xuyên tâm của nước trên bề mặt bọt khí bằng $\mathrm{dx}/\mathrm{dt}$. Với việc nước không nén được, hãy tìm vận tốc xuyên tâm của nước ở khoảng cách $r(r>R)$ từ tâm bọt khí.

A4. Tìm động năng toàn phần của nước.

A5. Nếu bỏ qua khối lượng của không khí, động năng được tìm thấy ở phần trước sẽ là động năng của bọt khí dao động. Tìm tần số dao động.

2. Bây giờ ta xem xét ảnh hưởng của sức căng bề mặt. Hệ số sức căng bề mặt $\sigma$ được xác định là năng lượng cần thiết để tạo ra một đơn vị diện tích bề mặt $(W=\mathrm{\sigma S})$.

B1. Tìm đóng góp của sức căng bề mặt vào năng lượng cần thiết để tạo ra một bọt khí có bán kính $R$ trong nước.

B2. Tìm tần số dao động của bọt khí, bao gồm cả ảnh hưởng của sức căng bề mặt nước. Giả sử áp suất bên ngoài bọt khí bằng $p_0$.

Hai dây dẫn cách điện – thẳng, song song và có chiều dài vô hạn, cách nhau một khoảng $\mathrm{2a}$ – có các điện tích trái dấu với mật độ tuyến tính $\mathrm{\pm \lambda }$ đều đặn. Xét trên một mặt phẳng vuông góc với các dây dẫn được thể hiện trong hình, đường tròn bán kính $a$đi qua các giao điểm với hai dây dẫn, như trong Hình 2.

Hình 2

1. Tính độ lớn của điện trường tại mỗi điểm P trên đường tròn (trừ các điểm giao với dây dẫn) và chỉ ra những điểm mà điện trường có giá trị nhỏ nhất.

2. Chứng minh rằng hai nửa đường tròn có tâm là O, với các đầu mút là các giao điểm của dây dẫn với mặt phẳng của hình, là hai đường sức của điện trường.

Một hạt có điện tích dương $q$ và khối lượng $m$ bị ràng buộc chuyển động trên một đường dẫn tròn có bán kính $\mathrm{2a}$, đồng phẳng và đồng tâm với đường tròn trước đó (xem Hình 3). Đường dẫn được làm từ vật liệu cách điện và hạt có thể trượt trên đó với ma sát không đáng kể.

Hình 3

3. Xác định tất cả các điểm cân bằng cho hạt và cho biết đó là cân bằng bền hay không bền.

4. Hạt, ban đầu được đặt tại điểm cân bằng không bền, bị dịch chuyển một lượng nhỏ và sau đó được thả tự do. Xác định vận tốc của hạt khi nó đi qua điểm cân bằng bền.

Hai dây dẫn giờ di chuyển cả hai với vận tốc $\overrightarrow{v}$ song song với chính các dây dẫn.

5. Chứng minh rằng tại mỗi điểm, từ trường $\overrightarrow{B}$ vuông góc với điện trường $\overrightarrow{E}$ và giữa độ lớn của các trường tồn tại mối quan hệ $\text{B=vE/c²}$ (tức là $\text{vB=(v/c)²E}$).

Nhà vật lý người Nga Viktor Veselago đã mô tả các tính chất của các vật liệu có chiết suất âm (metamaterial). Hình đầu tiên cho thấy sự chuyển tiếp của tia sáng từ môi trường thông thường ($n_1\mathrm{⩾1}$) sang metamaterial ($n_2\mathrm{<0}$). Hóa ra, trong hệ thống này, các tia tới và tia khúc xạ nằm cùng một phía so với pháp tuyến của mặt phân cách giữa hai môi trường, trong khi vẫn tuân theo định luật khúc xạ của Snellius: $\text{sin⁡}\alpha \text{/sin⁡}\beta =\left|n_2\right|/n_1$​. Trong phòng thí nghiệm, hai thấu kính phẳng-lồi mỏng với bán kính cong $R$ đã được chế tạo và đặt sát nhau (xem hình thứ hai). Thấu kính bên trái được làm từ metamaterial với $n\mathrm{<-1}$, thấu kính bên phải được làm từ vật liệu thông thường với chiết suất có độ lớn bằng nhau.

a. Xác định độ tụ của thấu kính.

b. Vẽ hình ảnh của hình vuông ABCD với cạnh $a$. Các trục chính của các thấu kính trùng nhau. Giả sử rằng hình ảnh được tạo ra bởi các tia sáng lệch nhẹ so với trục chính.

Hạt ${\pi }^0$ có khối lượng nghỉ $m$ chuyển động với vận tốc tương đối tính có độ lớn $v$ và phân rã thành hai photon. Độ lớn của vận tốc ánh sáng là $c$.

a. Xác định năng lượng nhỏ nhất và lớn nhất có thể của các photon phát ra.

Hình 5. 1 chỉ hướng chuyển động của hạt ${\pi }^0$ trước khi phân rã và 2 chỉ hướng chuyển động của photon phát ra.

Phân bố góc của các photon phát ra được định nghĩa là $I(\theta )=\frac{dP}{\mathrm{d\Omega }}$, trong đó $\theta \in \left[0^0,{180}^0\right]$ là góc giữa hướng của photon phát ra và hướng chuyển động của hạt ${\pi }^0$ trước khi phân rã, và $dP$ là xác suất để photon phát ra nằm trong một góc không gian nhỏ $\mathrm{d\Omega }$, xem hình 5. Được biết rằng khi hạt ${\pi }^0$ đứng yên phân rã, các photon phát ra đẳng hướng (có xác suất bằng nhau theo mọi hướng).

b. Xác định phân bố góc của các photon phát ra.

-----------HẾT----------