Đề TL02: Đề ôn tập chuyên đề Cơ học số 2

Một viên bi nhỏ (coi là chất điểm) có khối lượng m , được thả tại điểm A với vận tốc ban đầu bằng không. Sau đó viên bi chuyển động theo phương thẳng đứng xuống dưới, va chạm với bề mặt của một quả cầu rỗng, cứng, bán kính $R$, tâm O , khối lượng phân bố đều trên bề mặt. Quả cầu đặt trên mặt sàn nằm ngang. Hệ đặt tại nơi có gia tốc trọng trường là g . Bỏ qua ma sát và lực cản.

1. Trường hợp quả cầu được giữ cố định, điểm A nằm trong quả cầu, cách OC một đoạn $\mathrm{d(C}$ là điểm thấp nhất của quả cầu), viên bi va chạm hoàn toàn đàn hồi với mặt trong của quả cầu tại điểm B , với $\text{AB=H}$. Sau va chạm, viên bi nảy lên và rơi xuống mặt trong của quả cầu tại đúng điểm C (Hình 1.1)

a. Tính tốc độ $v_0$ của viên bi ngay trước khi va chạm theo H và g .

b. Gọi h là khoảng cách từ mặt sàn nằm ngang đến điểm B. Tìm giá trị của h theo R và d.

c. Biết: R = 30 cm; d = 15 cm; g = 10 m/s2.Tính thời gian viên bi chuyển động từ B đến C và giá trị H.

2. Trường hợp quả cầu không được giữ cố định, điểm A nằm phía ngoài quả cầu. Viên bi rơi xuống theo phương thẳng đứng và va chạm hoàn toàn đàn hồi với mặt ngoài của quả cầu tại điểm B, với AB H = (Hình 1.2).

Coi mặt sàn rất cứng, quả cầu rỗng không nảy lên ngay sau va chạm; thời gian va chạm rất ngắn. Biết góc BOD = = 45, khối lượng của quả cầu là m.

a. Chứng minh rằng vận tốc góc của quả cầu rỗng sau va chạm bằngkhông.

b. Tìm vận tốc tịnh tiến của khối tâm quả cầu và của viên bi ngay sau va chạm. Tính góc tạo bởi vận tốc của viên bi ngay sau va chạm và phương ngang.

Một mô hình đơn giản của máy đo tốc độ được thể hiện trong Hình vẽ.

Đáy của trục quay thẳng đứng được đỡ bởi một mặt đất nhẵn và được giới hạn bởi các ổ trục nhẵn cố định $A$ và $B$. Độ dày của hai ổ trục có thể được bỏ qua. Chúng cách nhau $2h$, với điểm giữa là $O$. Các viên bi nhỏ $a$ và $b$ (cả hai đều có thể được coi là các khối điểm) có khối lượng lần lượt là $m_1$ và $m_2$ được cố định ở cả hai đầu của một thanh mỏng đồng nhất có khối lượng $M$ và chiều dài $\mathrm{2l}$. Một trục ngang nhẵn được cố định tại điểm $O$ của trục quay thẳng đứng. Một lỗ tròn nhỏ ở tâm của thanh mỏng được lắp vào trục ngang này và thanh mỏng có thể quay quanh trục ngang này trong mặt phẳng chứa nó và trục quay. Một hệ tọa độ vuông góc O-xyz được thiết lập với O là gốc tọa độ và hướng thẳng đứng hướng lên trên là trục $z$ dương. Trục $y$ vuông góc với tờ giấy và hướng vào trong (không được hiển thị trong hình). Các vectơ đơn vị theo hướng x, y và z lần lượt được ký hiệu là $e_x,e_y$ và $e_z$. Giả sử $\theta$ là góc giữa $\mathrm{Oa}$ và trục $z$ dương. Một lò xo đĩa nhẹ được lắp tại điểm O trên trục quay, lò xo này có thể tác dụng một mô men xoắn phục hồi có độ lớn $\mathrm{k\theta }$ lên thanh mỏng, trong đó k là hệ số xoắn của lò xo đĩa. Độ lớn của gia tốc trọng trường là g.

1. Máy đo tốc độ quay đều quanh trục quay thẳng đứng với một vận tốc góc nhất định, trong đó θ là một giá trị cố định ${\theta }_0\left(\mathrm{0<}{\theta }_0<\pi \right)$ và $\left({\theta }_0\ne \frac{\pi }{2}\right)$.

1.1. Tìm vận tốc góc ${\omega }_0$ của máy đo tốc độ khi nó quay với tốc độ không đổi, và thảo luận về các điều kiện mà ${\theta }_0$ phải thỏa mãn khi ${\omega }_0$ thực sự tồn tại, với điều kiện $m_1>m_2$ và $m_1\le m_2$ tương ứng.

1.2. Tại một thời điểm nhất định, thanh mỏng di chuyển vào mặt phẳng $\mathrm{x-z}$ như thể hiện trong Hình 6a. Tìm mômen động lượng $L$ của máy đo tốc độ so với điểm$O$, và các lực $F_A$ và $F_B$ do các ổ trục A và B tác dụng lên trục quay tại thời điểm này.

2. Lấy $m_1=m_2\text{= m}$. Ban đầu, hệ thống ở trạng thái chuyển động ổn định được mô tả trong câu hỏi (1). Tại một thời điểm nhất định (ký hiệu là $\text{t = 0}$), quả bóng a chịu tác động của một lực vuông góc với thanh mỏng trong mặt phẳng chứa thanh mỏng và trục quay thẳng đứng (khiến $\theta$ tăng lên). Thời gian va chạm rất ngắn. Biết rằng giá trị cực đại của $\theta$ trong chuyển động tiếp theo là ${\theta }_M({\theta }_0<{\theta }_M\mathrm{<\pi )}$.

2.1. Tìm tốc độ biến thiên ${\Omega }_0$ của $\theta$của quả bóng $a$ngay sau khi va chạm;

2.2. Khi lực va chạm đủ nhỏ, thanh có thể thực hiện dao động điều hòa đơn biên độ nhỏ gần ${\theta }_0$. Tìm tần số góc ${\omega }_{\theta }$ của dao động;