Đề thi thử chọn đội dự thi HSG QG năm 2026 - 2027 lần 1

Trong câu hỏi này, ta sẽ khám phá các khía cạnh thú vị về sự va chạm giữa các quả bóng bida đồng chất, giống hệt nhau có khối lượng $m$ và bán kính $r$. Trong bài toán này, ta xét các tình huống vật lý khác nhau và coi các quả bóng là các vật rắn có kích thước.

Coi tất cả các va chạm đều xảy ra trong khoảng thời gian $\tau$ vô cùng nhỏ. Ta sẽ luôn xét kiểu va chạm đặc trưng trên bàn bida, trong đó một quả cầu $E_1$ ban đầu đứng yên và bị đánh trúng bởi một quả cầu $E_2$ đang chuyển động. Chuyển động của $E_2$ trước va chạm được đặc trưng bởi vận tốc ban đầu ${\overrightarrow{v}}_0$ và vận tốc góc ${\overrightarrow{\omega }}_0$.

Ta sẽ khám phá các kiểu va chạm khác nhau có thể xảy ra. Trong các phần tiếp theo, hãy tính đến sự tiêu hao năng lượng (nếu có) liên quan đến các tham số vật lý đã cho.

Phần A - Ảnh hưởng của tham số va chạm (nhắm)

Trong phần này, ta bỏ qua mọi ma sát giữa các quả bóng cũng như giữa các quả bóng với mặt bàn. Ta sẽ khảo sát chuyển động của các quả cầu sau va chạm theo tham số va chạm $b$, được định nghĩa là khoảng cách từ tâm của $E_1$ đến đường thẳng chứa quỹ đạo chuyển động của tâm $E_2$ trước va chạm.

Đối với các va chạm như thế này, hệ số phục hồi $e$ của va chạm được định nghĩa là tỷ số giữa các thành phần pháp tuyến của vận tốc tách ra và vận tốc tiến lại gần, đối với bề mặt tiếp xúc của hai vật trong quá trình va chạm, tức là:

$$e=\frac{v_{\mathrm{\perp ,}\text{ tách ra }}}{v_{\mathrm{\perp ,}\text{ tiến lại gần }}}.$$

A.1 Xét va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa các quả bóng bida $(e\mathrm{=1)}$, hãy tính các vectơ vận tốc ${\overrightarrow{v}}_1$ và ${\overrightarrow{v}}_2$ của các quả bóng $E_1$ và $E_2$ tương ứng sau va chạm theo $b$ và bán kính $r$.

A.2 Làm lại phần trước với hệ số phục hồi $e\mathrm{=0}$.

A.3 Chứng minh sự bảo toàn (hoặc sự tiêu hao) cơ năng cho từng trường hợp trên. Khi có sự tiêu hao, hãy tính năng lượng cơ học đã bị tiêu hao.

Phần B - Va chạm có quay và trượt liên tục

Trong phần thứ hai này, xét va chạm có tham số va chạm $b\mathrm{=0}$. Bề mặt tiếp xúc giữa bàn và các quả bóng hoàn toàn nhẵn, nhưng giữa hai quả bóng với nhau lại có hệ số ma sát $\mu$. Lần này, giả sử quả cầu thứ nhất $E_1$ lại đang đứng yên, trong khi $E_2$ di chuyển với vận tốc dài $\overrightarrow{v}=v_0\hat{x}$ từ vị trí ban đầu $\overrightarrow{r}=-x_0\hat{x}$ (với $x_0\mathrm{>0}$) và có vận tốc góc $\overrightarrow{\omega }={\omega }_0\hat{z}$ (tức là quay ngược chiều kim đồng hồ đối với người quan sát từ phía trên bàn.

Giả thiết hệ số phục hồi giữa hai quả cầu là $e\mathrm{=1}$. Tương tự như Phần A, ký hiệu các vectơ vận tốc dài của các quả bóng $E_1$ và $E_2$ lần lượt là ${\overrightarrow{v}}_1$ và ${\overrightarrow{v}}_2$. Tương tự, ký hiệu vận tốc góc của chúng sau va chạm lần lượt là ${\overrightarrow{\omega }}_1$ và ${\overrightarrow{\omega }}_2$.

Trong phần này của bài toán, giả sử sự trượt giữa hai quả cầu diễn ra trong suốt toàn bộ khoảng thời gian va chạm $\tau$; điều này tương ứng với điều kiện $\mu v_0<{\omega }_{0}r/7$.

B.1 Xác định các mối quan hệ toán học mà các thành phần vận tốc dài ${\overrightarrow{v}}_0,{\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$ của các quả bóng trước và sau va chạm phải thỏa mãn.

B.2 Xác định mối quan hệ toán học mà các vận tốc góc ${\overrightarrow{\omega }}_0,{\overrightarrow{\omega }}_1,{\overrightarrow{\omega }}_2$ của các quả bóng trước và sau va chạm phải thỏa mãn.

B.3 Xác định góc giữa vectơ vận tốc ${\overrightarrow{v}}_1$ của quả cầu $E_1$ sau va chạm và phương $\hat{x}$.

B.4 Xác định các vận tốc dài và vận tốc góc (${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,{\overrightarrow{\omega }}_1$ và ${\overrightarrow{\omega }}_2$) của các quả cầu $E_1$ và $E_2$ sau va chạm.

Phần C - Va chạm có quay và trượt một phần

Trong phần này, xét cùng điều kiện ban đầu như Phần B, nghĩa là $E_1$ đang đứng yên, trong khi $E_2$ di chuyển với vận tốc dài $\overrightarrow{v}=v_0\overrightarrow{x}$ và vận tốc góc $\overrightarrow{\omega }={\omega }_0\overrightarrow{z}$. Va chạm vẫn là hoàn toàn đàn hồi $\left(e=1\right)$; tuy nhiên, khi kết thúc va chạm giữa hai quả cầu, không còn sự trượt giữa các bề mặt tiếp xúc của chúng nữa, nghĩa là thời gian trượt ngắn hơn khoảng thời gian va chạm $\tau$. Điều này tương ứng với điều kiện $\mu v_0\ge {\omega }_{0}r/7$. Hãy thực hiện các yêu cầu sau:

C.1 Xác định các vận tốc dài và vận tốc góc (${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,{\overrightarrow{\omega }}_1$ và ${\overrightarrow{\omega }}_2$) của các quả cầu $E_1$ và $E_2$ sau va chạm trong tình huống đã mô tả.

C.2 Tính cơ năng bị tiêu hao trong va chạm ở tình huống này. Làm thế nào để giải thích sự tiêu hao năng lượng ngay cả khi $e\mathrm{=1}$?

Hình 1 biểu diễn đồ thị áp suất - thể tích ($p-V$) của một chu trình Carnot. Chu trình hoạt động giữa nguồn nhiệt nhiệt độ cao $T_H$ và nguồn nhiệt nhiệt độ thấp $T_C$. Các quá trình bao gồm:

$a\to b$: Đẳng nhiệt, chất công tác có nhiệt độ $T_H$

$b\to c$: Đoạn nhiệt

$c\to d$: Đẳng nhiệt, chất công tác có nhiệt độ $T_C$

$d\to a$: Đoạn nhiệt

Cho biết chất công tác có áp suất $p_i$ và thể tích $V_i$ tại các điểm $i=a,b,c,d$. Chất công tác nhận lượng nhiệt $Q_H$ và tỏa ra lượng nhiệt $Q_C$ ($Q_C\mathrm{>0}$). Giả sử pít-tông chuyển động đủ chậm và không có bất kỳ sự tổn hao nào, do đó có thể coi chu trình là thuận nghịch và tổng biến thiên entropi bằng 0.

Hình 1: Sơ đồ áp suất-thể tích. Thể tích được xác định bởi khoảng cách $x$ của hình trụ.

a) Bằng cách xét biến thiên entropi, hãy chứng minh hiệu suất $\eta \mathrm{=1-}{T}_C/T_H$.

Từ phần b đến phần f, giả sử chất công tác là 1 mol khí lí tưởng.

b) Hãy trình bày phương pháp tìm $Q_H$ (biểu diễn theo $T_H,V_a,V_b$ và các hằng số vật lý).

c) Tìm công $W$ mà khí thực hiện trong 1 chu trình (biểu diễn theo $T_H,T_C,V_a,V_b$ và các hằng số vật lý).

Trong Hình 1, khoảng cách $x$ đo từ đáy xi-lanh đặc trưng cho thể tích của khí. Cho pít-tông có diện tích tiết diện ngang là $A$ và tốc độ trung bình là $\bar{v}$ (nghĩa là học sinh có thể sử dụng tốc độ này cho mọi quá trình).

d) Tìm thời gian pít-tông dùng để chuyển động trong 1 chu trình (biểu diễn theo $V_a,V_c,A$ và $\bar{v}$).

Đặt $\alpha =V_b/V_a$ và $\beta =T_H/T_C$ là các tham số của hệ. Nếu $\alpha$ có giá trị lớn, pít-tông sẽ mất nhiều thời gian trong giai đoạn đẳng nhiệt; còn nếu $\beta$ có giá trị lớn, pít-tông sẽ mất nhiều thời gian trong giai đoạn đoạn nhiệt. Do đó, thời gian pít-tông thực hiện một chu trình sẽ phụ thuộc vào $\alpha$ và $\beta$. Giả sử khí có chỉ số đoạn nhiệt (tỉ số nhiệt dung) $\gamma =C_p/C_V=5/3$.

e) Hãy chứng minh rằng công suất hoạt động trong 1 chu trình có thể viết dưới dạng:

$$P=p_{a}A\bar{v}\cdot f(\alpha ,\beta )$$

Trong đó $f(\alpha ,\beta )$ là một hàm số mà học sinh phải xác định cụ thể.

f) Khi cho trước một giá trị $p_a$ và giả sử $\alpha \mathrm{\gg 1}$, hãy tìm giá trị $\beta ={\beta }^{*}$ để công suất đạt cực đại ($P_{\max }$). Hãy vẽ đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa $P$ và $\beta$ thể hiện rõ các đặc điểm quan trọng, đồng thời tìm hiệu suất $\eta ={\eta }^{*}$ tại thời điểm công suất đạt cực đại.

Trong bài toán này, ta sẽ phân tích điện trường bên trong một ống tích điện, qua đó một điện tích $q$ đang chuyển động.

Phần A. Ống tích điện

i. Xét một vòng tròn không dẫn điện bán kính $s$ nằm trong mặt phẳng $\mathrm{xy}$, tâm tại gốc tọa độ, vuông góc với trục $z$. Vòng tròn mang mật độ điện tích dài đều $\lambda$. Chứng minh rằng điện trường tại điểm $P\text{=(0,0,}z)$ trên trục $z$ được cho bởi:

$$E_{\text{vòng}}=\frac{\lambda }{2{\epsilon }_0}\frac{\mathrm{zs}}{{\left(z^2+s^2\right)}^{\mathrm{3/2}}}\hat{z},$$

trong đó $\hat{z}$ là vectơ đơn vị theo hướng $z$.

ii. Xét một hình trụ rỗng không dẫn điện (hở hai đầu) bán kính $r$ và chiều dài $2L$, có trục trùng với trục $z$ và trung điểm nằm tại gốc tọa độ. Hình trụ mang mật độ điện tích mặt đều $\sigma$.

Chứng minh rằng điện trường tại một điểm trên trục $z$ với $|z|\le L$ có dạng:

$$E_{\mathrm{trụ}}=\alpha \left(\frac{1}{\sqrt{r^2+(L-z{)}^2}}-\frac{1}{\sqrt{r^2+(L+z{)}^2}}\right)\hat{z},$$

trong đó $\alpha$ là một hằng số cần được xác định.

Gợi ý: $\sum _{}^{}\frac{x}{{\left(x^2+c^2\right)}^{\mathrm{3/2}}}\mathrm{dx}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}+C$.

iii. Bây giờ xét một đĩa không dẫn điện bán kính $R$ nằm trong mặt phẳng $\mathrm{xy}$, tâm tại gốc tọa độ. Đĩa mang mật độ điện tích mặt đều ${\sigma }^{\text{'}}$.

Xác định biểu thức vectơ cho điện trường của đĩa tại điểm $P\text{=(0,0,}z)$ trên trục $z$.

Gợi ý: $\sum _{}^{}\frac{x}{{\left(x^2+c^2\right)}^{\mathrm{3/2}}}\mathrm{dx}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}+C$.

Phần B. Xấp xỉ

i. Trong phần tiếp theo, ta đặc biệt quan tâm đến điện trường ở sâu bên trong hình trụ, tức là với $|z\mathrm{|\ll }L$. Tuyến tính hóa kết quả từ phần ii quanh $z\mathrm{=0}$ về dạng $E=\mathrm{kz}+b$.

ii. Tiếp theo, xét các điểm gần đĩa, sao cho $R\mathrm{\gg |}z|$. Với $z\mathrm{>0}$, tìm giá trị của $A$ trong biểu thức bậc không:

$$E_{\mathrm{đĩa}}\approx A{\sigma }^{\text{'}}\hat{z}.$$

Phần C. Hãy để nó dao động!

Các thành phần đã được phân tích ở trên giờ đây được kết hợp lại với nhau. Một hình trụ bán kính $r$, chiều dài $2L$ và mật độ điện tích mặt đều $\sigma$ được đặt sao cho tâm trùng với gốc tọa độ. Hai đĩa, cả hai đều có bán kính $R$, được đặt lần lượt tại $z_1=-d$ và $z_2=d$, với $d>L$. Đĩa bên trái và đĩa bên phải mang mật độ điện tích mặt đều lần lượt là ${\sigma }^{\text{'}}$ và $-{\sigma }^{\text{'}}$. Cả hai đĩa giờ đây được làm bằng vật liệu dẫn điện, nhưng giả sử rằng kích thước của bài toán sao cho mật độ điện tích mặt của chúng vẫn có thể coi là đều. Đặc biệt, điều này có nghĩa là $R$ rất lớn.

Một hạt có khối lượng $m$ và điện tích $q<0$ bị giới hạn chuyển động trên trục $z$ được đặt tại gốc tọa độ. Giả sử $\sigma >0$ để lực điện do hình trụ tác dụng lên hạt là lực kéo về gần vị trí $z=0$. Giả sử $R\gg d$ và $\sigma \text{'}\left(t\right)=\sigma {\text{'}}_0\cos \left(\mathrm{\omega t}\right)$, với tần số góc $\omega$ đủ thấp để gần đúng tĩnh điện học vẫn có hiệu lực. Đồng thời, trong suốt chuyển động, vị trí của hạt thỏa mãn $\left|z\right|\ll L$.

Sơ đồ thiết lập được minh họa trong hình.

i. Viết phương trình chuyển động tuyến tính hóa của hạt theo các đại lượng $A,k$ và các đại lượng cần thiết khác. Đồng thời cung cấp biểu thức cho tần số góc ${\omega }_0$ của dao động tự do của hạt tích điện.

ii. Giải thích điều gì xảy ra khi $\omega \approx {\omega }_0$. Các phương trình của bạn có còn đúng trong trường hợp này không?

Nhà thực nghiệm Gluck tiến hành các nghiên cứu quang học với một lăng kính đặc, mặt cắt ngang $\mathrm{OAB}$ của nó là một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{OA}=h$. Tất cả các mặt của lăng kính hoặc song song hoặc vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

Nếu đưa vào hệ tọa độ vuông góc $\mathrm{xOy}$ với gốc tại $O$ như trên hình vẽ, thì chiết suất của vật liệu làm lăng kính chỉ phụ thuộc vào tọa độ $x$ theo quy luật:

$$n(x)=\frac{3}{\mathrm{2-}x/h}.$$

Gluck quyết định chiếu sáng toàn bộ mặt của lăng kính chứa $\mathrm{OA}$ và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ bằng một chùm sáng vuông góc với mặt đó. Đáy của lăng kính chứa $\mathrm{AB}$ và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ được phủ một chất hấp thụ hoàn toàn ánh sáng chiếu tới nó. Lăng kính đặt trong không khí, chiết suất của không khí có thể coi bằng 1. Sau đây chỉ xét các tia sáng đi vào bên trong lăng kính qua các điểm nằm trên cạnh $\mathrm{OA}$ của lăng kính.

1. Xét một tia sáng đi vào lăng kính tại điểm có tọa độ $x_0$. Tìm phương trình quỹ đạo của tia sáng đó bên trong lăng kính cho đến khi chạm tới các cạnh $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{OB}$ của lăng kính. Không bắt buộc phải tìm phạm vi giá trị của $x$ mà tại đó phương trình quỹ đạo thu được có hiệu lực.

2. Với những giá trị nào của góc $\angle \mathrm{AOB}=\alpha$ thì các tia sáng chiếu tới mọi điểm trên cạnh $\mathrm{OB}$ của mặt cắt lăng kính?

3. Với những giá trị nào của góc $\alpha$ thì tất cả các tia sáng đã tới được cạnh $\mathrm{OB}$ của mặt cắt lăng kính đều khúc xạ và đi ra không khí?

Các tác phẩm khoa học viễn tưởng liên quan đến du hành vũ trụ thường đưa ra những đề xuất về phương tiện liên sao khá kỳ lạ. Hãy xem xét một tên lửa photon, tức là một thiết bị có thể di chuyển trong không gian chỉ nhờ phát xạ ánh sáng, có khả năng đạt tới vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân không, $c$. Cấu trúc của tên lửa được minh họa trong hình bên dưới.

Giả sử toàn bộ bức xạ sau phản xạ được chuẩn trực và thoát ra ngược chiều chuyển động của tên lửa; động lượng của bức xạ thoát ra làm tên lửa gia tốc trong không gian. Kí hiệu $m_0$ là khối lượng nghỉ ban đầu của tên lửa.

a) Giải thích ngắn gọn tại sao khối lượng nghỉ của tên lửa cần phải giảm trong suốt quá trình gia tốc của nó.

b) Xác định vận tốc $v$ của tên lửa theo hàm của khối lượng nghỉ cuối cùng của nó, $m_f<m_0$.

c) Giả sử tên lửa đạt tới vận tốc $v\text{=0,999}c$, hãy tính phân số khối lượng nghỉ của nó không bị chuyển đổi thành bức xạ.

--- HẾT---