Bài tập. Các dạng bài tập chuyên đề Từ trường

DẠNG 1: TỪ TRƯỜNG VÀ CẢM ỨNG TỪ

1. Công thức trọng tâm

* Dây dẫn thẳng dài:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\mathrm{\pi r}}=2\times {10}^{-7}\frac{I}{r}$$

* Tâm khung dây tròn có N vòng:

$$B=\frac{{\mu }_0\mathrm{NI}}{2R}$$

* Ống dây dài:

$$B={\mu }_0\mathrm{nI}={\mu }_0\frac{N}{l}I$$

* Tổng hợp từ trường:

$$\overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_1+{\overrightarrow{B}}_2\mathrm{+\cdots }$$

2. Bài tập ví dụ:

Câu 1. Xác định điểm có cảm ứng từ tổng hợp triệt tiêu và tính chất của vùng từ trường

Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn được đặt song song trong không khí, cách nhau một khoảng $d\mathrm{=10}\text{ cm}$. Dòng điện chạy trong hai dây có cường độ lần lượt là $I_1\mathrm{=6}\text{ A}$ và $I_2\mathrm{=9}\text{ A}$.

a) Giả sử hai dòng điện chạy ngược chiều nhau, hãy xác định vị trí của những điểm có cảm ứng từ tổng hợp bằng $0$. Điểm đó nằm trong hay nằm ngoài khoảng cách giữa hai dây?

b) Tại điểm $M$ nằm cách dây (1) một khoảng $6\text{ cm}$ và cách dây (2) một khoảng $8\text{ cm}$. Tính độ lớn cảm ứng từ tổng hợp tại $M$ trong trường hợp hai dòng điện ngược chiều.

Giải

a) Xác định vị trí điểm có cảm ứng từ bằng $0$

Để ${\overrightarrow{B}}_1+{\overrightarrow{B}}_2=\overrightarrow{0}$ thì ${\overrightarrow{B}}_1$ và ${\overrightarrow{B}}_2$ phải ngược chiều và $B_1=B_2$.

- Vị trí: Đối với hai dòng điện ngược chiều, các điểm có vectơ cảm ứng từ ngược chiều nhau phải nằm ngoài khoảng cách giữa hai dây. Vì $I_1<I_2$, điểm này nằm gần dây (1) hơn.

- Gọi $r_1$ là khoảng cách từ điểm đó đến dây (1), khi đó khoảng cách đến dây (2) là $r_2=r_1\mathrm{+10}\text{ (cm)}$.

- Độ lớn:

$$B_1=B_2\mathrm{\Rightarrow 2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{I_1}{r_1}\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{I_2}{r_2}$$

$$\Rightarrow \frac{6}{r_1}=\frac{9}{r_1\mathrm{+10}}\mathrm{\Rightarrow 6}{r}_1\text{+60=9}{r}_1\mathrm{\Rightarrow 3}{r}_1\text{=60⇒}{r}_1\mathrm{=20}\text{ cm}$$

Kết luận: Điểm cần tìm nằm ngoài khoảng cách hai dây, cách dây (1) một đoạn $20\text{ cm}$ và cách dây (2) một đoạn $30\text{ cm}$.

b) Tính cảm ứng từ tại điểm $M$

Ta có $r_1\mathrm{=6}\text{ cm}\text{=0,06}\text{ m}$; $r_2\mathrm{=8}\text{ cm}\text{=0,08}\text{ m}$; $d\mathrm{=10}\text{ cm}\text{=0,1}\text{ m}$.

Nhận thấy: $r_1^2+r_2^2=6^2+8^2={10}^2=d^2\Rightarrow$ Tam giác tại $M$ vuông tại $M$.

- Độ lớn các cảm ứng từ thành phần:

$$B_1\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{I_1}{r_1}\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{6}{\mathrm{0,06}}\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-5}}\text{ T}$$

$$B_2\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{I_2}{r_2}\mathrm{=2\cdot }{10}^{\mathrm{-7}}\frac{9}{\mathrm{0,08}}\text{=2,25⋅}{10}^{\mathrm{-5}}\text{ T}$$

- Tổng hợp vectơ: Vì ${\overrightarrow{B}}_1\perp r_1$ và ${\overrightarrow{B}}_2\perp r_2$ mà $r_1\perp r_2$ nên ${\overrightarrow{B}}_1\perp {\overrightarrow{B}}_2$.

Suy ra: $B_M=\sqrt{B_1^2+B_2^2}=\sqrt{\mathrm{(2\cdot }{10}^{\mathrm{-5}}{)}^2\text{+(2,25⋅}{10}^{\mathrm{-5}}{)}^2}\approx \text{3,01⋅}{10}^{\mathrm{-5}}\text{ T}$

DẠNG 2. LỰC TỪ TÁC DỤNG LÊN DÂY DẪN VÀ ĐIỆN TÍCH

1. Công thức trọng tâm

Lực từ tác dụng lên đoạn dây:

$$F=\mathrm{BI}l\sin \alpha$$

Lực Lorentz tác dụng lên điện tích:

$$F=\left|q\right|\mathrm{vB}\sin \alpha$$

Hạt chuyển động vuông góc với từ trường:

$$R=\frac{\mathrm{mv}}{\left|q\right|B},\text{ T}=\frac{2\mathrm{\pi m}}{\left|q\right|B}$$

Máy lọc vận tốc:

$$v=\frac{E}{B}$$

2. Bài tập ví dụ

Câu 2. Mô hình hóa súng ray điện từ (Railgun) và bài toán gia tốc vật đạn.

Súng ray là một loại vũ khí điện từ sử dụng lực Ampere để gia tốc vật đạn lên vận tốc siêu vượt âm mà không cần thuốc súng. Mô hình đơn giản của súng ray gồm hai thanh ray kim loại song song, cách nhau một khoảng $w\mathrm{=2}\text{ cm}$. Một vật đạn dẫn điện có khối lượng $m\mathrm{=20}\text{ g}$ được đặt tiếp xúc vuông góc và có thể trượt không ma sát giữa hai thanh ray. Một nguồn điện siêu tụ cấp dòng điện cường độ cực lớn $I={10}^5\text{ A}$ chạy dọc theo một thanh ray, đi qua vật đạn và trở về qua thanh ray còn lại.

Giả sử từ trường giữa hai thanh ray là từ trường do hai dòng điện thẳng dài vô hạn gây ra và có thể coi là đều đối với vật đạn, với độ lớn cảm ứng từ trung bình được tính theo công thức thực nghiệm:

$B_{\mathrm{tb}}=\frac{{\mu }_{0}I}{\mathrm{\pi w}}\text{ln(2)}$.

a) Tính độ lớn cảm ứng từ trung bình $B_{\mathrm{tb}}$ giữa hai thanh ray với dòng điện trên.

b) Tính độ lớn lực đẩy điện từ tác dụng lên vật đạn và gia tốc tức thời của nó tại thời điểm khai hỏa.

Giải

a) Độ lớn cảm ứng từ trung bình:

Thay số vào công thức:

$$B_{\mathrm{tb}}=\frac{4\pi \cdot {10}^{\mathrm{-7}}\cdot {10}^5}{\pi \text{⋅0,02}}\text{⋅ln⁡(2)=2⋅}{10}^{\mathrm{-5}}\cdot {10}^5\text{⋅0,693≈}\mathrm{1,386}\text{ T}.$$

b) Lực đẩy và gia tốc:

Lực Ampere tác dụng lên vật đạn:

$$F=B_{\mathrm{tb}}\cdot I\cdot w\text{=1,386⋅}{10}^5\text{⋅0,02≈}2772\text{ N}.$$

Gia tốc tức thời:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2772}{\mathrm{0,02}}=138600{\text{ m/s}}^2.$$

DẠNG 3. TỪ THÔNG VÀ CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

1. Công thức trọng tâm

Từ thông:

$$\Phi =\mathrm{BS}\cos \alpha ,{\Phi }_N=\mathrm{NBS}\cos \alpha$$

Định luật Faraday:

$$e=-N\frac{\mathrm{\Delta \Phi }}{\mathrm{\Delta t}}$$

Thanh dẫn chuyển động:

$$e=Blv$$

Dòng điện và công suất:

$$I=\frac{\left|e\right|}{R},\text{ P}=I^{2}R=\frac{e^2}{R}$$

2. Bài tập ví dụ

Câu 3. Mô hình máy phát điện đơn giản

Một khung dây dẫn phẳng, hình chữ nhật có diện tích $S\text{=200}{\text{ cm}}^2$ và điện trở tổng cộng $R\mathrm{=2}\Omega$. Khung dây được đặt trong một từ trường đều có cảm ứng từ $B\text{=0,5}\text{ T}$. Ban đầu, mặt phẳng khung dây vuông góc với các đường sức từ. Tại thời điểm $t\mathrm{=0}$, người ta cho khung dây quay đều quanh một trục đối xứng nằm trong mặt phẳng khung và vuông góc với các đường sức từ với tốc độ góc $\omega \text{=100}\pi \text{ rad/s}$.

a) Thiết lập biểu thức từ thông $\mathrm{\Phi (}t)$ gửi qua khung dây. Xác định thời điểm đầu tiên từ thông qua khung dây bằng 0.

b) Viết biểu thức suất điện động cảm ứng $e(t)$ xuất hiện trong khung dây. Nhận xét về mối quan hệ về pha giữa suất điện động và từ thông.

c) Tính cường độ dòng điện cực đại $I_0$ và nhiệt lượng tỏa ra trên khung dây sau khi quay được $1000$ vòng.

Giải

a) Thiết lập biểu thức từ thông $\mathrm{\Phi (}t)$

- Đổi đơn vị: $S\text{=200}{\text{ cm}}^2\text{=0,02}{\text{ m}}^2$.

- Từ thông cực đại: ${\Phi }_0=B\cdot S\text{=0,5⋅0,02=0,01}\text{ Wb}$.

- Tại $t\mathrm{=0}$, $\overrightarrow{n}\parallel \overrightarrow{B}$ nên $\alpha \text{=0⇒Φ=}{\Phi }_0\text{cos⁡(}\mathrm{\omega t})$.

- Vậy: $\mathrm{\Phi (}t\text{)=0,01cos⁡(100}\mathrm{\pi t})\text{ (Wb)}$.

- Từ thông bằng 0 khi $\text{cos⁡(100}\mathrm{\pi t}\text{)=0⇒100}\mathrm{\pi t}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{1}{200}\text{ s}=5\text{ ms}$.

b) Suất điện động cảm ứng $e(t)$

- Suất điện động cực đại: $E_0=\omega \cdot {\Phi }_0\text{=100}\pi \text{⋅0,01=}\pi \text{ (V)}\text{≈3,14}\text{ V}$.

- Biểu thức: $e(t)=E_0\text{sin⁡(}\mathrm{\omega t})=\pi \text{sin⁡(100}\mathrm{\pi t})\text{ (V)}$.

- Nhận xét: Suất điện động cảm ứng biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng trễ pha $\pi \mathrm{/2}$ so với từ thông. Khi từ thông biến thiên nhanh nhất (đi qua giá trị 0) thì suất điện động đạt giá trị cực đại.

c) Dòng điện và Nhiệt lượng

- Dòng điện cực đại: $I_0=\frac{E_0}{R}=\frac{\pi }{2}\text{≈1,57}\text{ A}$.

- Dòng điện hiệu dụng: $I=\frac{I_0}{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\text{ (A)}$.

- Thời gian quay 1000 vòng: $t\text{=1000⋅}T\text{=1000⋅}\frac{2\pi }{\omega }\text{=1000⋅}\frac{2\pi }{100\pi }\mathrm{=20}\text{ s}$.

- Nhiệt lượng tỏa ra:

$$Q=I^2\cdot R\cdot t={\left(\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\right)}^2\text{⋅2⋅20=}\frac{{\pi }^2}{8}\text{⋅40=5}{\pi }^2\approx \mathrm{49,35}\text{ J}.$$

DẠNG 4. MÁY PHÁT ĐIỆN, MÁY BIẾN ÁP VÀ TỰ CẢM

1. Công thức trọng tâm

Khung dây quay đều: $\Phi =\mathrm{NBS}\cos \left(\mathrm{\omega t}+\phi \right)$

Suất điện động xoay chiều: $e=E_0\sin \left(\mathrm{\omega t}+\phi \right),E_0=\text{NBSω}$

Máy biến áp lí tưởng: $\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{I_1}{I_2}$

Hao phí truyền tải: $\mathrm{\Delta P}=I^{2}R=\frac{P^{2}R}{U^2}$

Tự cảm và năng lượng: $\left|e_{\mathrm{tc}}\right|=L\left|\frac{\mathrm{\Delta i}}{\mathrm{\Delta t}}\right|,\text{ W}=\frac{1}{2}L{i}^2$

2. Bài tập ví dụ

Câu 4. Suất điện động cảm ứng trong máy phát điện xoay chiều

Một máy phát điện xoay chiều đơn giản gồm khung dây phẳng có $100$ vòng dây giống nhau, diện tích mỗi vòng là $\mathrm{60,0}{\mathrm{cm}}^2$. Khung quay đều với tần số $20\text{\hspace{0.17em}v}\grave{o}\text{ng/s}$ trong từ trường đều có cảm ứng từ $\text{2,0×}{10}^{\mathrm{-2}}\text{\hspace{0.17em}T}$. Trục quay nằm trong mặt phẳng khung dây và vuông góc với các đường sức từ.

a) Tính chu kì quay, tần số góc của khung dây và biên độ suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung.

b) Viết biểu thức suất điện động cảm ứng theo thời gian. Chọn gốc thời gian lúc pháp tuyến của khung dây cùng chiều với vectơ cảm ứng từ.

c) Xác định giá trị suất điện động cảm ứng tại các thời điểm $\mathrm{t=0}$, $\mathrm{t=}\frac{T}{4}$ và $\mathrm{t=}\frac{T}{2}$.

Giải

Đổi đơn vị:

$$\text{S=60,0}{\mathrm{cm}}^2\text{=6,0×}{10}^{\mathrm{-3}}{m}^2.$$

a) Chu kì quay:

$$\mathrm{T=}\frac{1}{f}=\frac{1}{20}\text{=0,050}\text{\hspace{0.17em}s}.$$

Tần số góc:

$$\text{ω=2πf=40π}\text{\hspace{0.17em}rad/s}.$$

Biên độ suất điện động cảm ứng:

$$E_0\text{=NBSω}$$

$$\text{=100⋅2,0×}{10}^{\mathrm{-2}}\text{⋅6,0×}{10}^{\mathrm{-3}}\text{⋅40π}$$

$$\text{≈1,51}\text{\hspace{0.17em}V}.$$

b) Từ thông qua khung dây:

$$\Phi \text{=NBS}\cos \text{⁡(ωt)}.$$

Suất điện động cảm ứng:

$$\mathrm{e=-}\frac{d\Phi }{\mathrm{dt}}$$

$$\mathrm{=e=}{E}_0\sin \text{⁡(ωt)}.$$

Suy ra:

$$\text{e=1,51}\sin \text{⁡(40}\mathrm{\pi t)}(V).$$

c) Tại $\mathrm{t=0}$:

$$\text{e(0)=1,51}\sin \text{⁡0=0.}$$

Tại $\mathrm{t=}\frac{T}{4}$:

$$e\left(\frac{T}{4}\right)\text{=1,51}\sin \frac{\pi }{2}\text{=1,51}\text{\hspace{0.17em}V}.$$

Tại $\mathrm{t=}\frac{T}{2}$:

$$e\left(\frac{T}{2}\right)\text{=1,51}\sin \text{⁡π=0.}$$

DẠNG 5. ĐIỆN TỪ TRƯỜNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ

1. Công thức trọng tâm

Liên hệ bước sóng và tần số:

$$c=\mathrm{\lambda f},\text{ T}=\frac{1}{f}$$

Quan hệ biên độ điện trường và từ trường:

$$\frac{E_0}{B_0}=c$$

Độ lệch pha trên phương truyền:

$$\mathrm{\Delta \phi }=\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }$$

Thời gian truyền và thời gian radar:

$$t=\frac{s}{c},t_{\text{radar}}=\frac{\mathrm{2d}}{c}$$

2. Bài tập ví dụ

Câu 5. Độ trễ tín hiệu trong hệ thống truyền thông vệ tinh địa tĩnh

Hai trạm mặt đất liên lạc với nhau thông qua một vệ tinh địa tĩnh đặt ở độ cao $\mathrm{h=}36000\text{\hspace{0.17em}km}$ so với mặt đất. Tín hiệu truyền qua vệ tinh có tần số $\text{f=12}\text{\hspace{0.17em}GHz}$. Lấy tốc độ truyền sóng điện từ trong không khí xấp xỉ bằng tốc độ ánh sáng $\text{c=3,0×}{10}^8\text{\hspace{0.17em}m/s}$.

a) Tính bước sóng $\lambda$ của tín hiệu truyền.

b) Tín hiệu trên thuộc vùng nào trong thang sóng điện từ? Nêu một ưu điểm của loại sóng này trong truyền thông vệ tinh.

c) Để một cuộc gọi video diễn ra tự nhiên, tổng độ trễ hai chiều không nên vượt quá $\mathrm{0,50}\text{\hspace{0.17em}s}$. Chỉ xét thời gian truyền sóng điện từ trong không gian, hệ thống vệ tinh trên có đáp ứng yêu cầu này hay không?

Giải

a) Tính bước sóng của tín hiệu

Đổi đơn vị: $\text{f=12}\text{\hspace{0.17em}GHz}\text{=12×}{10}^9\text{\hspace{0.17em}Hz}$.

$$\mathrm{\lambda =}\frac{c}{f}=\frac{\text{3,0×}{10}^8}{\mathrm{12\times }{10}^9}\text{=2,5×}{10}^{\mathrm{-2}}\text{\hspace{0.17em}m}\text{=2,5}\text{\hspace{0.17em}cm}.$$

Vậy bước sóng của tín hiệu là $\text{λ=2,5}\text{\hspace{0.17em}cm}$.

b) Xác định loại sóng điện từ

Tín hiệu có $\text{f=12}\text{\hspace{0.17em}GHz}$, tương ứng $\text{λ=2,5}\text{\hspace{0.17em}cm}$, thuộc vùng sóng vô tuyến, cụ thể là sóng vi ba.

Một ưu điểm của sóng vi ba là có bước sóng ngắn, dễ định hướng bằng anten parabol và mang được lượng thông tin lớn nên phù hợp cho truyền thông vệ tinh.

c) Đánh giá độ trễ của cuộc gọi video

Đổi đơn vị: $\mathrm{h=}36000\text{\hspace{0.17em}km}\text{=3,6×}{10}^7\text{\hspace{0.17em}m}$.

Một chiều liên lạc gồm hai chặng nên quãng đường tín hiệu truyền là:

$$s_1\mathrm{=2}\mathrm{h=}\text{7,2×}{10}^7\text{\hspace{0.17em}m}.$$

Độ trễ một chiều:

$$t_1=\frac{s_1}{c}=\frac{\text{7,2×}{10}^7}{\text{3,0×}{10}^8}\text{=0,24}\text{\hspace{0.17em}s}.$$

Liên lạc hai chiều gồm tín hiệu đi và tín hiệu phản hồi nên quãng đường truyền là:

$$s_2\mathrm{=4}\mathrm{h=}\text{1,44×}{10}^8\text{\hspace{0.17em}m}.$$

Độ trễ hai chiều:

$$t_2=\frac{s_2}{c}=\frac{\text{1,44×}{10}^8}{\text{3,0×}{10}^8}\text{=0,48}\text{\hspace{0.17em}s}.$$

So sánh: $t_2\text{=0,48}\text{\hspace{0.17em}s}\text{<0,50}\text{\hspace{0.17em}s}$.

Vậy nếu chỉ xét thời gian truyền sóng điện từ trong không gian, hệ thống vừa đáp ứng yêu cầu. Tuy nhiên, độ trễ rất sát giới hạn; trong thực tế, khi tính thêm thời gian xử lí tín hiệu tại thiết bị và mạng truyền dẫn, hệ thống có thể không còn đáp ứng tốt yêu cầu hội thoại tự nhiên.

6. Mở rộng và nâng cao – Dành cho học sinh giỏi và thi đánh giá năng lực

6.1. Phương pháp năng lượng cho thanh dẫn chuyển động

Trong mạch không có hao phí cơ khác, công suất của lực kéo chuyển thành công suất Joule:

$$F_{\mathrm{kéo}}\text{v =}{I}^2\text{R = εI}$$

6.2. Phương pháp đạo hàm từ thông

Với từ thông phụ thuộc nhiều đại lượng:

$$\text{ε = -dΦ/dt = -}\frac{d\left(\text{NBS cosα}\right)}{\mathrm{dt}}$$

Cần xét đại lượng nào biến thiên theo thời gian trước khi lấy đạo hàm.

6.3. Bài toán tự cảm và quá độ

Cuộn cảm chống lại sự biến thiên dòng điện. Năng lượng tích trữ:

$$W_t=\left(\frac{1}{2}\right){\mathrm{Li}}^2$$

6.4. Bài toán hạt tích điện

Dùng bảo toàn động năng khi chỉ có lực từ; dùng bán kính và chu kì để liên hệ điện tích riêng:

$$\frac{\left|q\right|}{m}=\frac{v}{\mathrm{BR}}$$

6.5. Câu hỏi tư duy nâng cao

1. Dấu của suất điện động cảm ứng được xác định bằng nguyên lí nào?

2. Khi điện trở mạch tăng, lực hãm từ của thanh dẫn thay đổi ra sao?

3. Lực từ có làm thay đổi tốc độ hạt không?

Gợi ý ngắn: (1) định luật Lenz; (2) giảm; (3) không nếu chỉ có lực từ.