Bài 13. Bài tập về khí lí tưởng

1. Kiến thức trọng tâm

1.1. Các kiến thức cần sử dụng

Bài tập về khí lí tưởng thường liên quan đến bốn nhóm kiến thức:

• Mô hình động học phân tử chất khí.

• Các định luật về chất khí.

• Phương trình trạng thái của khí lí tưởng.

• Mối liên hệ giữa áp suất, nhiệt độ và chuyển động nhiệt của phân tử khí.

1.2. Các thông số trạng thái

Trạng thái cân bằng của một lượng khí xác định được đặc trưng bởi ba thông số:

• Áp suất $p$.

• Thể tích $V$.

• Nhiệt độ tuyệt đối $T$.

Khi khí chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2:

$$\left(p_1,V_1,T_1\right)\to \left(p_2,V_2,T_2\right)$$

Nhiệt độ phải được đổi sang kelvin:

$$\text{T=t+273}.$$

1.3. Các công thức cơ bản

1.3.1. Phương trình trạng thái của một lượng khí không đổi

$$\frac{\mathrm{pV}}{T}=h\text{ằng số}.$$

Đối với hai trạng thái:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}.$$

Công thức này chỉ áp dụng khi:

• Lượng khí không đổi.

• Khí được xem gần đúng là khí lí tưởng.

• Nhiệt độ được tính bằng kelvin.

1.3.2. Quá trình đẳng nhiệt

Nhiệt độ không đổi:

$$T_1=T_2.$$

Suy ra:

$$p_1{V}_1=p_2{V}_2.$$

Trong quá trình đẳng nhiệt, áp suất tỉ lệ nghịch với thể tích.

1.3.3. Quá trình đẳng áp

Áp suất không đổi:

$$p_1=p_2.$$

Suy ra:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}.$$

Trong quá trình đẳng áp, thể tích tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối.

1.3.4. Quá trình đẳng tích

Thể tích không đổi:

$$V_1=V_2.$$

Suy ra:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}.$$

Trong quá trình đẳng tích, áp suất tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối.

1.3.5. Phương trình khí lí tưởng

$$\text{pV=nRT=}\frac{m}{M}\mathrm{RT.}$$

Trong đó:

• $n$: số mol khí.

• $m$: khối lượng khí.

• $M$: khối lượng mol.

• $R$: hằng số khí lí tưởng.

• $T$: nhiệt độ tuyệt đối.

Công thức này được sử dụng khi đề bài cho số mol, khối lượng khí hoặc khi lượng khí thay đổi.

1.3.4. Quy trình giải bài tập định lượng

Bước 1. Xác định lượng khí

Cần xác định:

• Lượng khí có được giữ kín hay không.

• Khối lượng hoặc số mol khí có thay đổi hay không.

• Có khí thoát ra hoặc được bơm thêm vào không.

Bước 2. Xác định các trạng thái

Lập bảng:

Bước 3. Xác định quá trình biến đổi

$•T$ không đổi: đẳng nhiệt.

$•p$ không đổi: đẳng áp.

$•V$ không đổi: đẳng tích.

• Cả $\text{p,V,T}$ cùng thay đổi: dùng phương trình trạng thái tổng quát.

• Lượng khí thay đổi: dùng $\text{pV=nRT}$ cho từng trạng thái.

Bước 4. Đổi đơn vị và tính toán

• Nhiệt độ phải đổi sang kelvin.

• Khi dùng công thức tỉ lệ, áp suất ở hai vế phải cùng đơn vị; thể tích ở hai vế phải cùng đơn vị.

• Khi dùng $\text{pV=nRT}$ với $\text{R=8,31}\text{ J/(mol}.\mathrm{K)}$, phải dùng đơn vị SI.

1.3.5. Lưu ý khi giải bài tập định tính

Khi giải thích hiện tượng, nên trình bày theo chuỗi nguyên nhân.

Ví dụ, khi nén khí đẳng nhiệt:

V giảm $⟹$ mật độ phân tử tăng $⟹$ số va chạm với thành bình tăng $⟹$ áp suất tăng

Khi đun nóng khí trong bình kín có thể tích không đổi:

T tăng $⟹$ động năng tăng $⟹$ va chạm thành bình thương xuyên hơn $⟹$ áp suất tăng

1.3.6. Lưu ý khi đọc đồ thị

Trên hệ trục $\mathrm{p-V}$

• Đường đẳng nhiệt là một nhánh hypebol.

• Ở cùng một thể tích, đường có áp suất lớn hơn ứng với nhiệt độ cao hơn.

• Đường đẳng nhiệt có nhiệt độ cao nằm phía trên đường có nhiệt độ thấp.

Trên hệ trục $\mathrm{p-T}$

• Đường đẳng tích là đường thẳng có phần kéo dài đi qua gốc tọa độ.

• Đường nằm ngang biểu diễn quá trình đẳng áp.

2. BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1. Khí trong bình kín được làm nguội

Một bình hình trụ có dung tích $8$ lít, đặt thẳng đứng và được đậy kín bằng một nắp có khối lượng $2\text{ kg}$, đường kính $20\text{ cm}$. Trong bình chứa khí ở nhiệt độ ${100}^{\circ }C$ và có áp suất bằng áp suất khí quyển ${10}^5\text{ Pa}$.

Khi nhiệt độ trong bình giảm còn ${20}^{\circ }C$:

a) Áp suất khí trong bình bằng bao nhiêu?

b) Muốn mở nắp bình, cần tác dụng một lực tối thiểu bằng bao nhiêu? Lấy $\text{g=9,8}{\mathrm{m/s}}^2$.

Định hướng tư duy

Bước 1. Bình kín và có thể tích không đổi nên khối khí thực hiện quá trình đẳng tích.

Bước 2. Đổi nhiệt độ sang kelvin.

Bước 3. Áp dụng:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}.$$

Bước 4. Xét các lực tác dụng lên nắp bình để tìm lực mở nắp.

Hướng dẫn giải

Câu a. Tính áp suất khí trong bình

Trạng thái 1:

$$V_1\mathrm{=8}\mathrm{lí}t\text{, }{T}_1\text{=100+273=373}\text{ K},$$

$$p_1={10}^5\text{ Pa}.$$

Trạng thái 2:

$$V_2\mathrm{=8}\mathrm{lí}t\text{, }{T}_2\text{=20+273=293}\text{ K}.$$

Vì quá trình đẳng tích:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}.$$

Suy ra:

$$p_2=\frac{p_1{T}_2}{T_1}=\frac{{10}^5\text{⋅293}}{373}\text{≈7,86×}{10}^4\text{ Pa}.$$

Vậy:

$$p_2\text{≈7,9×}{10}^4\text{ Pa}.$$

Câu b. Tính lực tối thiểu để mở nắp

Diện tích nắp:

$$\mathrm{S=}\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\text{3,14⋅}{\left(\mathrm{0,20}\right)}^2}{4}\text{=0,0314}{m}^2.$$

Các lực hướng lên gồm:

- Lực kéo $F$.

- Áp lực của khí bên trong $p_{2}S$.

Các lực hướng xuống gồm:

- Trọng lực của nắp $\mathrm{mg}$.

- Áp lực của khí quyển $p_{0}S$.

Khi nắp vừa bắt đầu mở:

$$\mathrm{F+}{p}_2\text{S=mg+}{p}_0\mathrm{S.}$$

Suy ra:

$$\text{F=mg+}\left(p_0-p_2\right)\mathrm{S.}$$

Thay số:

$$\text{F=2⋅9,8+}\left({10}^5\text{-7,86×}{10}^4\right)\text{⋅0,0314.}$$

$$\text{F≈692}\text{ N}.$$

Vậy lực tối thiểu cần tác dụng là:

$$F_{\min }\text{≈692}\text{ N}.$$

Lưu ý

Khi khí trong bình nguội đi, áp suất bên trong nhỏ hơn áp suất khí quyển. Vì vậy, áp suất khí quyển ép nắp xuống rất mạnh.

Bài 2. So sánh nhiệt độ của hai đường đẳng nhiệt

Hình 13.1 biểu diễn hai đường đẳng nhiệt của một lượng khí lí tưởng ở hai nhiệt độ $T_1$ và $T_2$ trong hệ tọa độ $\left(p,V\right)$. Hãy so sánh $T_1$ và $T_2$.

Định hướng tư duy

Có thể so sánh hai trạng thái:

• Cùng áp suất.

• Hoặc cùng thể tích.

Sau đó sử dụng định luật tương ứng để so sánh nhiệt độ.

Cách 1. So sánh tại cùng áp suất

Kẻ một đường nằm ngang, tức đường đẳng áp, cắt hai đường đẳng nhiệt tại trạng thái 1 và trạng thái 2.

Từ đồ thị:

$$V_2>V_1.$$

Ở cùng áp suất:

$$\frac{V}{T}=h\text{ằng số}.$$

Do đó:

$$V_2>V_1\Rightarrow T_2>T_1.$$

Vậy:

$$T_2>T_1.$$

Cách 2. So sánh tại cùng thể tích

Kẻ một đường thẳng đứng, tức đường đẳng tích, cắt hai đường đẳng nhiệt.

Tại cùng một thể tích, từ đồ thị:

$$p_2>p_1.$$

Trong quá trình đẳng tích:

$$\frac{p}{T}=\text{hằng số}.$$

Suy ra:

$$p_2>p_1\Rightarrow T_2>T_1.$$

Kết luận

Trên đồ thị $\mathrm{p-V}$, đường đẳng nhiệt nằm phía trên ứng với nhiệt độ cao hơn.

Bài 3. Lấy bớt khí ra khỏi bình

Một bình kín có thể tích không đổi chứa một khối lượng khí $m_1\text{=1,00}\text{ kg}$ ở áp suất $p_1={10}^7\text{ Pa}$.

Lấy ra khỏi bình một lượng khí cho đến khi áp suất của phần khí còn lại trong bình là:

$$p_2\text{=2,5×}{10}^6\text{ Pa}.$$

Tính khối lượng khí đã lấy ra, biết nhiệt độ của khí không đổi.

Định hướng tư duy

Khối lượng khí trong bình thay đổi nên không được áp dụng trực tiếp:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}.$$

Cần viết phương trình khí lí tưởng cho lượng khí trước và sau khi lấy bớt khí.

Hướng dẫn giải

Phương trình khí lí tưởng:

$$\mathrm{pV=}\frac{m}{M}\mathrm{RT.}$$

Trạng thái đầu:

$$p_1\mathrm{V=}\frac{m_1}{M}\mathrm{RT.}$$

Trạng thái sau:

$$p_2\mathrm{V=}\frac{m_2}{M}\mathrm{RT.}$$

Do $V$ và $T$ không đổi, chia hai phương trình:

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{m_2}{m_1}.$$

Suy ra khối lượng khí còn lại:

$$m_2=m_1\frac{p_2}{p_1}\text{=1,00⋅}\frac{\text{2,5×}{10}^6}{{10}^7}\text{=0,25}\text{ kg}.$$

Khối lượng khí đã lấy ra:

$$\Delta \mathrm{m=}{m}_1-m_2\text{=1,00-0,25=0,75}\text{ kg}.$$

Vậy:

$$\Delta \text{m=0,75}\text{ kg}.$$

Bài 4. Nén đẳng nhiệt

Một lượng khí ở điều kiện tiêu chuẩn có thể tích $2m^3$. Nếu nén đẳng nhiệt lượng khí này đến áp suất $\mathrm{5\times }{10}^5\text{ Pa}$ thì thể tích của lượng khí là

A. $10m^3$.

B. $1m^3$.

C. $\mathrm{0,4}{m}^3$.

D. $4m^3$.

Hướng dẫn giải

Ở điều kiện tiêu chuẩn, lấy:

$$p_1={10}^5\text{ Pa}.$$

Quá trình đẳng nhiệt:

$$p_1{V}_1=p_2{V}_2.$$

Suy ra:

$$V_2=\frac{p_1{V}_1}{p_2}=\frac{{10}^5\mathrm{\cdot 2}}{\mathrm{5\times }{10}^5}\text{=0,4}{m}^3.$$

Chọn: C

Bài 2. Bóng thám không

Một bóng thám không gồm vỏ bóng bằng vật liệu đàn hồi, dù và hộp đựng thiết bị đo.

a) Tại sao vỏ bóng phải được làm bằng vật liệu đàn hồi?

b) Tại sao để bóng bay lên, người ta phải bơm vào bóng một loại khí có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí?

c) Bóng thám không thường chỉ bay đến độ cao khoảng từ $30\mathrm{km}$ đến $40\text{ km}$ thì bị vỡ. Tại sao?

Hướng dẫn

Câu a

Khi bóng bay lên cao, áp suất khí quyển bên ngoài giảm. Khí trong bóng giãn nở làm thể tích bóng tăng.

Vì vậy, vỏ bóng phải có tính đàn hồi để có thể giãn ra theo sự tăng thể tích của khí.

Câu b

Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên bóng bằng trọng lượng của lượng không khí bị bóng chiếm chỗ.

Để bóng có thể bay lên, lực đẩy phải lớn hơn tổng trọng lượng của bóng, thiết bị và khí chứa trong bóng.

Vì vậy, khí bơm vào bóng phải có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí, thường là heli hoặc hiđrô.

Câu c

Khi bóng lên cao:

$$p_{\mathrm{ng}\mathrm{òa}i}\text{ giảm}\Rightarrow V_{\mathrm{kh}\text{í trong bong bóng}}\text{ t}ă\mathrm{ng}.$$

Vỏ bóng bị kéo căng dần. Khi thể tích vượt quá giới hạn đàn hồi hoặc độ bền của vật liệu, vỏ bóng bị rách và bóng vỡ.

Bài 5. Bình chứa khí oxygen

Một bình có dung tích $40{\mathrm{dm}}^3$, chứa $\mathrm{3,96}\text{ kg}$ khí oxygen. Hỏi ở nhiệt độ nào thì bình có thể bị vỡ, biết bình chỉ chịu được áp suất không quá $60\text{ atm}$.

Khối lượng riêng của oxygen ở điều kiện tiêu chuẩn là:

$${\rho }_0\text{=1,43}{\text{kg/m}}^3.$$

Định hướng tư duy

Dùng trạng thái của khí oxygen ở điều kiện tiêu chuẩn làm trạng thái 1.

Khối lượng khí không đổi nên áp dụng phương trình trạng thái.

Hướng dẫn giải

Thể tích của $\mathrm{3,96}\text{ kg}$ oxygen ở điều kiện tiêu chuẩn:

$$V_1=\frac{m}{{\rho }_0}=\frac{\mathrm{3,96}}{\mathrm{1,43}}\text{≈2,77}{m}^3.$$

Tại điều kiện tiêu chuẩn:

$$p_1\mathrm{=1}\text{ atm}\text{, }{T}_1\text{=273}\text{ K}.$$

Trạng thái giới hạn của bình:

$$p_2\mathrm{=60}\text{ atm},$$

$$V_2\mathrm{=40}{\mathrm{dm}}^3\text{=0,040}{m}^3.$$

Áp dụng:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}.$$

Suy ra:

$$T_2=\frac{p_2{V}_2{T}_1}{p_1{V}_1}.$$

$$T_2=\frac{\text{60⋅0,040⋅273}}{\text{1⋅2,77}}\text{≈237}\text{ K}.$$

Đổi sang độ C:

$$t_2=T_2\text{-273≈-}{36}^{\circ }C.$$

Vậy bình đạt áp suất giới hạn ở khoảng:

$$\text{T≈237}\text{ K}$$

hay:

$$\mathrm{t\approx -}{36}^{\circ }C.$$

Nhận xét

Do mật độ khí trong bình rất lớn nên ngay ở nhiệt độ khá thấp, áp suất đã có thể đạt giới hạn chịu đựng của bình.

Bài 6. Khí thoát khỏi bình

Một bình chứa khí ở nhiệt độ ${27}^{\circ }C$ và áp suất $40\text{ atm}$. Nếu nhiệt độ của khí giảm xuống ${12}^{\circ }C$ và một nửa lượng khí thoát ra khỏi bình thì áp suất khí còn lại bằng bao nhiêu?

Định hướng tư duy

• Bình có thể tích không đổi.

• Nhiệt độ thay đổi.

• Số mol khí còn lại bằng một nửa số mol ban đầu.

Dùng phương trình:

$$\text{pV=nRT.}$$

Hướng dẫn giải

Đổi nhiệt độ:

$$T_1\text{=27+273=300}\text{ K},$$

$$T_2\text{=12+273=285}\text{ K}.$$

Do một nửa lượng khí thoát ra:

$$n_2=\frac{n_1}{2}.$$

Vì thể tích bình không đổi:

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{n_2{T}_2}{n_1{T}_1}.$$

Suy ra:

$$p_2=p_1\frac{n_2{T}_2}{n_1{T}_1}\text{=40⋅}\frac{1}{2}\cdot \frac{285}{300}.$$

$$p_2\mathrm{=19}\text{ atm}.$$

Vậy:

$$p_2\mathrm{=19}\text{ atm}.$$

Bài 7. Nhận biết quá trình đẳng tích trên đồ thị $\mathrm{p-T}$

Hình 13.4 biểu diễn bốn quá trình chuyển trạng thái liên tiếp của một lượng khí trong hệ tọa độ $\left(p,T\right)$:

$$\text{1→2, 2→3, 3→4, 4→1.}$$

Hãy chứng tỏ rằng chỉ có một trong bốn quá trình trên là đẳng tích.

Định hướng tư duy

Đối với một lượng khí xác định, trong quá trình đẳng tích:

$$\frac{p}{T}=h\text{ằng số}.$$

Do đó, trên hệ trục $\mathrm{p-T}$, đường đẳng tích là đường thẳng có phần kéo dài đi qua gốc tọa độ $O$.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 13.4:

• Đoạn $\mathrm{1\to 2}$ nằm trên một đường thẳng có phần kéo dài đi qua gốc tọa độ $O$. Vì vậy:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},$$

nên quá trình $\mathrm{1\to 2}$ là đẳng tích.

• Các đoạn $\mathrm{2\to 3}$ và $\mathrm{4\to 1}$ nằm ngang, tức áp suất không đổi. Đây là các quá trình đẳng áp.

• Đoạn $\mathrm{3\to 4}$ là đường xiên nhưng phần kéo dài không đi qua $O$, vì vậy $\frac{p}{T}$ không không đổi. Quá trình này không phải đẳng tích.

Kết luận

Chỉ có quá trình:

$$\mathrm{1\to 2}$$

là quá trình đẳng tích.