Bài 7. Bài tập về sự chuyển năng lượng trong dao động điều hòa

1. Kiến thức trọng tâm

1.1. Năng lượng của vật dao động điều hòa

Cơ năng:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

Thế năng:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

Động năng:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right)$$

Định luật bảo toàn cơ năng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t$$

Các tỉ phần năng lượng:

$$\frac{W_t}{W}=\frac{x^2}{A^2}$$

$$\frac{W_{đ}}{W}\mathrm{=1-}\frac{x^2}{A^2}=\frac{A^2-x^2}{A^2}$$

1.2. Năng lượng của con lắc lò xo

$$W_t=\frac{1}{2}k{x}^2$$

$$W_{đ}=\frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right)$$

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}k{A}^2$$

Trong đó $x$ là li độ tính từ vị trí cân bằng.

1.3. Năng lượng của con lắc đơn

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng.

Ở li độ góc $\alpha$:

$$W_t\mathrm{=mg}l\left(\mathrm{1-}\cos \alpha \right)$$

Tại biên $\mathrm{\alpha =}{\alpha }_0$:

$$\text{W=mg}l\left(\mathrm{1-}\cos {\alpha }_0\right)$$

Động năng tại li độ góc $\alpha$:

$$W_{đ}\mathrm{=mg}l\left(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0\right)$$

Nếu góc dao động nhỏ và tính bằng radian:

$$\mathrm{1-}\cos \alpha \approx \frac{{\alpha }^2}{2}.$$

Khi đó:

$$W_t\approx \frac{1}{2}\mathrm{mg}l{\alpha }^2$$

$$\mathrm{W\approx }\frac{1}{2}\mathrm{mg}l{\alpha }_0^2$$

$$W_{đ}\approx \frac{1}{2}\mathrm{mg}l\left({\alpha }_0^2-{\alpha }^2\right)$$

SGK sử dụng các hệ thức này trong ví dụ về con lắc đơn dao động với góc nhỏ.

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1. Xác định năng lượng tại một trạng thái

Phương pháp

Bước 1. Xác định cơ năng:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

Bước 2. Xác định dạng năng lượng đã biết:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

hoặc:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$$

Bước 3. Dùng bảo toàn cơ năng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t.$$

Ví dụ, khi biết $\text{m,ω,A,v}$, thế năng là:

$$W_t\mathrm{=W-}{W}_{đ}=\frac{1}{2}m\left({\omega }^2{A}^2-v^2\right)$$

Đây là phương pháp được sử dụng trong ví dụ về vật dao động điều hòa có $\text{m,ω,A,v}$ cho trước.

Dạng 2. Xác định vị trí từ điều kiện năng lượng

a) Khi động năng bằng thế năng

$$W_{đ}=W_t.$$

Do:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t,$$

nên:

$$W_{đ}=W_t=\frac{W}{2}.$$

Với vật dao động điều hòa:

$$\frac{x^2}{A^2}=\frac{1}{2}.$$

Suy ra:

$$\mathrm{x=\pm }\frac{A}{\sqrt{2}}$$

Với con lắc đơn dao động góc nhỏ:

$$\frac{{\alpha }^2}{{\alpha }_0^2}=\frac{1}{2}.$$

Suy ra:

$$\mathrm{\alpha =\pm }\frac{{\alpha }_0}{\sqrt{2}}$$

SGK áp dụng kết quả này trong ví dụ con lắc đơn.

b) Khi vật có li độ $\text{x=A/2}$

$$\frac{W_t}{W}=\frac{x^2}{A^2}=\frac{1}{4}.$$

Do đó:

$$W_t=\frac{W}{4}$$

$$W_{đ}=\frac{\mathrm{3W}}{4}$$

Động năng chiếm $\mathrm{75\%}$, thế năng chiếm $\mathrm{25\%}$ cơ năng.

Dạng 3. Khai thác đồ thị năng lượng theo li độ

Đối với con lắc lò xo:

$$W_t=\frac{1}{2}k{x}^2,$$

$$W_{đ}\mathrm{=W-}\frac{1}{2}k{x}^2.$$

Đặc điểm đồ thị:

Tại giao điểm hai đồ thị:

$$W_{đ}=W_t.$$

Khi đó:

$$\mathrm{W=2}{W}_t\mathrm{=2}{W}_{đ}.$$

Đối với con lắc lò xo:

$$\text{W=2⋅}\frac{1}{2}k{x}^2.$$

Suy ra:

$$\mathrm{W=k}{x}^2$$

Dạng 4. Khai thác đồ thị động năng theo thời gian

Từ:

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right),$$

suy ra:

$$W_{đ}\mathrm{=W}{\sin }^2\left(\text{ωt+φ}\right).$$

Động năng có chu kì:

$$T_W=\frac{T}{2}$$

Do đó:

$$\mathrm{T=2}{T}_W$$

$$\mathrm{\omega =}\frac{\mathrm{2\pi }}{T}=\frac{\pi }{T_W}$$

Quy trình khai thác đồ thị

Bước 1. Đọc giá trị cực đại:

$$\mathrm{W=}{W}_{\text{đ,max}}.$$

Bước 2. Đọc khoảng thời gian giữa hai cực đại liên tiếp để xác định $T_W$.

Bước 3. Tính chu kì dao động:

$$\mathrm{T=2}{T}_W.$$

Bước 4. Xác định trạng thái ban đầu từ $W_{đ}\left(0\right)$.

Bước 5. Kết hợp chiều chuyển động ban đầu để xác định pha và viết phương trình.

Dạng 5. Khai thác đồ thị gia tốc – li độ

Trong dao động điều hòa:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}x$$

Do đó, đồ thị $\mathrm{a-x}$ là một đường thẳng:

Hệ số góc:

$$k_{\text{đồ thị}}=\frac{\Delta a}{\Delta x}=-{\omega }^2$$

Suy ra:

$$\mathrm{\omega =}\sqrt{-\frac{\Delta a}{\Delta x}}$$

Sau đó:

$$\mathrm{f=}\frac{\omega }{\mathrm{2\pi }}$$

và:

$$\mathrm{T=}\frac{\mathrm{2\pi }}{\omega }$$

Dạng 6. Giải thích hoạt động của máy đo địa chấn

Máy đo địa chấn đơn giản gồm:

Khi có địa chấn:

Để vật nặng không dao động mạnh theo mặt đất, tần số riêng của hệ vật nặng – lò xo phải nhỏ hơn rất nhiều tần số của địa chấn:

$$f_0\mathrm{\ll f}$$

Khi đó, khung máy dao động nhanh còn vật nặng thay đổi vị trí ít hơn, giúp bút ghi lại dao động của mặt đất.

3. QUY TRÌNH GIẢI CHUNG

Bước 1. Xác định hệ dao động: vật dao động điều hòa, con lắc lò xo hay con lắc đơn.

Bước 2. Chọn mốc thế năng phù hợp.

Bước 3. Viết cơ năng của hệ.

Bước 4. Viết động năng hoặc thế năng tại trạng thái đang xét.

Bước 5. Áp dụng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t.$$

Bước 6. Kiểm tra điều kiện áp dụng, dấu và đơn vị.

4. GHI NHỚ NHANH

Vật dao động điều hòa:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right)$$

Khi động năng bằng thế năng:

$$\text{∣x∣=}\frac{A}{\sqrt{2}}$$

Con lắc đơn dao động nhỏ:

$$\text{∣α∣=}\frac{{\alpha }_0}{\sqrt{2}}$$

Chu kì biến thiên của năng lượng:

$$T_W=\frac{T}{2}$$

Đồ thị gia tốc – li độ:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}x$$