Bài 5. Động năng. Thế năng. Sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng trong dao động điều hòa

1. Động năng của vật dao động điều hòa

Động năng của một vật có khối lượng $m$, chuyển động với vận tốc $v$, được xác định bởi:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2.$$

Vật dao động điều hòa có phương trình:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right),$$

và vận tốc:

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Thay vào công thức động năng:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\text{ωt+φ}\right).$$

Do:

$$v^2={\omega }^2\left(A^2-x^2\right),$$

nên động năng theo li độ là:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right).$$

Nhận xét

$$W_{đ}\mathrm{\ge 0.}$$

$$W_{\text{đ,max}}=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

2. Thế năng của vật dao động điều hòa

- Nếu bỏ qua ma sát và lực cản thì cơ năng của hệ được bảo toàn.

- Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Thế năng của vật ở li độ $x$ là:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$$

Thay:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right),$$

ta được:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\cos }^2\left(\text{ωt+φ}\right).$$

Nhận xét

$$W_{\text{t,max}}=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

3. Cơ năng của vật dao động điều hòa

Cơ năng của vật bằng tổng động năng và thế năng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t.$$

Thay các biểu thức:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right)+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$$

Suy ra:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

Nếu bỏ qua ma sát và lực cản:

$$\mathrm{W=}\text{hằng số}.$$

Trong dao động điều hòa, động năng và thế năng liên tục chuyển hóa qua lại, nhưng tổng của chúng luôn không đổi.

Cơ năng cũng bằng động năng cực đại hoặc thế năng cực đại:

$$\mathrm{W=}{W}_{\text{đ,max}}=W_{\text{t,max}}.$$

Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ:

$$\mathrm{W\sim }{A}^2.$$

Nếu biên độ tăng $n$ lần thì cơ năng tăng $n^2$ lần.

4. Sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng

a) Vật chuyển động từ biên về vị trí cân bằng

Khi vật đi từ biên về vị trí cân bằng: $\mathrm{\mid x\mid }$ giảm; tốc độ tăng; thế năng giảm; động năng tăng.

- Tại vị trí biên: $W_t\text{=W, }{W}_{đ}\mathrm{=0.}$

- Tại vị trí cân bằng: $W_t\text{=0, }{W}_{đ}\mathrm{=W.}$

Trong quá trình này, thế năng chuyển hóa thành động năng.

b) Vật chuyển động từ vị trí cân bằng ra biên

- Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên: $\mathrm{\mid x\mid }$ tăng; tốc độ giảm; thế năng tăng; động năng giảm.

Trong quá trình này, động năng chuyển hóa thành thế năng.

5. Đồ thị năng lượng theo li độ

a) Đồ thị động năng – li độ

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right).$$

Đồ thị $W_{đ}\mathrm{-x}$ là một phần parabol quay xuống trong miền:

$$\text{-A≤x≤A.}$$

b) Đồ thị thế năng – li độ

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$$

Đồ thị $W_t\mathrm{-x}$ là một parabol quay lên:

c) Đồ thị cơ năng – li độ

Do cơ năng không đổi:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2,$$

nên đồ thị $\mathrm{W-x}$ là một đường thẳng song song với trục li độ.

Tại mọi vị trí:

$$W_{đ}+W_t\mathrm{=W}.$$

6. Đồ thị năng lượng theo thời gian

Ta có:

$$W_t\mathrm{=W}{\cos }^2\left(\text{ωt+φ}\right),$$

$$W_{đ}\mathrm{=W}{\sin }^2\left(\text{ωt+φ}\right).$$

Vì vậy:

7. Cơ năng của con lắc lò xo

- Xét con lắc lò xo gồm vật khối lượng $m$, lò xo có độ cứng $k$.

- Nếu bỏ qua ma sát thì dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa.

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, thế năng của con lắc lò xo là:

$$W_t=\frac{1}{2}k{x}^2.$$

So sánh với: $W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2,$ ta có: $m{\omega }^2\mathrm{=k.}$

Suy ra:

$$\mathrm{\omega =}\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

- Chu kì của con lắc lò xo:

$$\text{T=2π}\sqrt{\frac{m}{k}}.$$

- Cơ năng của con lắc lò xo:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2.$$

Do $\mathrm{k=m}{\omega }^2$, ta có:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=\frac{1}{2}k{A}^2=hằ\text{ng số}.$$

8. Cơ năng của con lắc đơn

- Xét con lắc đơn có:

- Giữa li độ dài và li độ góc có hệ thức:

$$\mathrm{s=}l\alpha ,$$

trong đó $\alpha$ tính bằng radian.

a) Thế năng của con lắc đơn

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng:

$$W_t\mathrm{=mg}l\left(\mathrm{1-}\cos \alpha \right).$$

Với góc nhỏ:

$$\mathrm{1-}\cos \alpha \approx \frac{{\alpha }^2}{2}.$$

Do đó:

$$W_t\approx \frac{1}{2}\mathrm{mg}l{\alpha }^2.$$

Vì $\mathrm{s=}l\alpha$, suy ra:

$$W_t\approx \frac{1}{2}\frac{\mathrm{mg}}{l}{s}^2.$$

So sánh với:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{s}^2,$$

ta có:

$$\mathrm{\omega =}\sqrt{\frac{g}{l}}.$$

- Chu kì của con lắc đơn dao động với góc nhỏ:

$$\mathrm{T=2}\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

b) Động năng và cơ năng

Động năng:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2.$$

Nếu $A$ là biên độ li độ dài của con lắc thì:

$$\mathrm{W=}\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

Nếu ${\alpha }_0$ là biên độ góc thì:

$$\mathrm{A=}l{\alpha }_0,$$

nên:

$$\mathrm{W\approx }\frac{1}{2}\mathrm{mg}l{\alpha }_0^2.$$

Các công thức của con lắc đơn chỉ đúng gần đúng khi góc dao động nhỏ và $\alpha$ được tính bằng radian.

THÍ NGHIỆM ẢO PHET

Con lắc lò xo

Khảo sát sự chuyển hóa giữa động năng, thế năng và cơ năng

Mục tiêu: Theo dõi định tính và định lượng sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng; kiểm tra sự bảo toàn cơ năng khi lực cản không đáng kể.

Gợi ý thao tác:

1. Mở màn hình Năng lượng, treo vật vào lò xo và kéo vật đến một vị trí lệch khỏi cân bằng.

2. Thả vật; quan sát các cột động năng, thế năng đàn hồi, thế năng hấp dẫn và nhiệt năng.

3. Thay đổi lực cản; so sánh trường hợp cơ năng bảo toàn với trường hợp cơ năng chuyển thành nhiệt năng.

II. HIỂU SÂU BẢN CHẤT

1. Cơ năng không phải là một dạng năng lượng thứ ba

Cơ năng là tổng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t.$$

Trong quá trình dao động, chỉ có sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng. Không nên nói “cơ năng chuyển hóa thành động năng” hoặc “cơ năng chuyển hóa thành thế năng”.

2. Vì sao động năng và thế năng luôn không âm?

Do đó, dấu của vận tốc hoặc li độ không làm thay đổi giá trị năng lượng.

3. Hai vị trí đối xứng có cùng năng lượng

Tại hai vị trí $x$ và $\mathrm{-x}$:

$$W_t\left(x\right)=W_t\left(\mathrm{-x}\right),$$

$$W_{đ}\left(x\right)=W_{đ}\left(\mathrm{-x}\right).$$

Tuy nhiên, vật có thể chuyển động theo các chiều khác nhau. Vì vậy, chỉ biết động năng và thế năng chưa đủ xác định đầy đủ trạng thái của vật.

4. Chu kì của năng lượng

Sau thời gian $\mathrm{T/2}$:

Vì vậy, động năng và thế năng có chu kì:

$$T_W=\frac{T}{2}.$$

III. GHI NHỚ NHANH

Động năng:

$$W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(A^2-x^2\right)$$

Thế năng:

$$W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

Cơ năng:

$$\mathrm{W=}{W}_{đ}+W_t=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

Tại vị trí cân bằng:

$$W_{đ}\text{=W; }{W}_t\mathrm{=0}$$

Tại vị trí biên:

$$W_{đ}\text{=0; }{W}_t\mathrm{=W}$$

Con lắc lò xo:

$$\mathrm{\omega =}\sqrt{\frac{k}{m}};\text{T=2π}\sqrt{\frac{m}{k}};\mathrm{W=}\frac{1}{2}k{A}^2$$

Con lắc đơn dao động nhỏ:

$$\mathrm{\omega =}\sqrt{\frac{g}{l}};\text{T=2π}\sqrt{\frac{l}{g}};\mathrm{W\approx }\frac{1}{2}\mathrm{mg}l{\alpha }_0^2$$