Bài 4. Bài tập về dao động điều hòa

Bài này hệ thống phương pháp vận dụng phương trình, đồ thị và các mối liên hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc trong dao động điều hòa.

1. Kiến thức trọng tâm

1.1. Phương trình dao động

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$$

Trong đó:

Các hệ thức:

$$\mathrm{f=}\frac{\omega }{\mathrm{2\pi }};\mathrm{T=}\frac{\mathrm{2\pi }}{\omega };\text{θ=ωt+φ}.$$

1.2. Phương trình vận tốc và gia tốc

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right)$$

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}A\cos \left(\text{ωt+φ}\right)=-{\omega }^{2}x$$

Giá trị cực đại:

$$v_{\max }\mathrm{=\omega A}$$

$$a_{\max }={\omega }^{2}A.$$

Quan hệ pha:

1.3. Hệ thức độc lập với thời gian

$$v^2={\omega }^2\left(A^2-x^2\right)$$

Suy ra:$\mathrm{A=}\sqrt{x^2+\frac{v^2}{{\omega }^2}}.$

Hệ thức này được dùng khi biết đồng thời li độ và vận tốc của vật tại một thời điểm.

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1. Khai thác phương trình dao động

Cho phương trình:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Có thể xác định trực tiếp:

$$\mathrm{Bi}\text{ên độ}\text{: }A;$$

$$\text{Tần số góc: }\omega ;$$

$$\text{Chu k}ỳ\text{: }\mathrm{T=}\frac{\mathrm{2\pi }}{\omega };$$

$$T\text{ần số}\text{: }\mathrm{f=}\frac{\omega }{\mathrm{2\pi }};$$

$$\text{Pha ban đầu: }\phi$$

Pha tại thời điểm $t_1$:

$${\theta }_1\mathrm{=\omega }{t}_1\mathrm{+\phi }.$$

Li độ tại thời điểm $t_1$:

$$x_1\mathrm{=A}\cos \left(\omega t_1\mathrm{+\phi }\right).$$

Quy trình

Bước 1. Đưa phương trình về dạng chuẩn $\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$, trong đó $\mathrm{A>0}$ và $\mathrm{\omega >0}$.

Bước 2. Đọc các đại lượng $\text{A,ω,φ}$.

Bước 3. Tính $\text{T, f}$ hoặc pha và li độ tại thời điểm được yêu cầu.

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1

Đề bài. Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x=6\cos \left(\mathrm{4\pi t}-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm), trong đó $t$ tính bằng giây.

a) Xác định biên độ, tần số góc, chu kì, tần số, pha ban đầu; đồng thời cho biết tại $t=0$ vật ở vị trí nào và chuyển động theo chiều nào.

b) Tính li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm $t=\frac{1}{8}$ s.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. So sánh phương trình đã cho với dạng chuẩn $x=A\cos \left(\mathrm{\omega t}+{\phi }_0\right)$.

Bước 2. Dùng $T=\frac{\mathrm{2\pi }}{\omega }$, $f=\frac{1}{T}$; xác định chiều chuyển động từ dấu của $v=-\mathrm{\omega A}\sin \left(\mathrm{\omega t}+{\phi }_0\right)$.

Bước 3. Tại thời điểm cần xét, tính pha rồi lần lượt tính $x$, $v$ và $a=-{\omega }^{2}x$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

$$A=\text{6\hspace{0.25em}}\mathrm{cm},\text{ ω}=\text{4π\hspace{0.25em}}\text{rad/s},{\phi }_0=-\frac{\pi }{3}.$$

Chu kì và tần số:

$$T=\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{4\pi }}=\frac{1}{2}s,\text{ f}=\frac{1}{T}=\text{2\hspace{0.25em}}\mathrm{Hz}.$$

Tại $t=0$:

$$x_0=6\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\text{3\hspace{0.25em}}\mathrm{cm},$$

$$v_0=-\mathrm{24\pi }\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=12\sqrt{3}\text{π\hspace{0.25em}}\text{cm/s}>0.$$

Vậy vật ở li độ $x=3$ cm và đang chuyển động theo chiều dương.

$$\theta =\mathrm{4\pi }\cdot \frac{1}{8}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}.$$

Do đó:

$$x=6\cos \frac{\pi }{6}=3\sqrt{3}\mathrm{cm},$$

$$v=-\mathrm{24\pi }\sin \frac{\pi }{6}=-\text{12π\hspace{0.25em}}\text{cm/s},$$

$$a=-{\omega }^{2}x=-{\left(\mathrm{4\pi }\right)}^2\cdot 3\sqrt{3}=-48\sqrt{3}{\pi }^2{\text{cm/s}}^2.$$

Đáp số: a) $A=6$ cm; $\omega =\mathrm{4\pi }$ rad/s; $T=0,5$ s; $f=2$ Hz; ${\phi }_0=-\pi /3$; vật chuyển động theo chiều dương. b) $x=3\sqrt{3}$ cm; $v=-\mathrm{12\pi }$ cm/s; $a=-48\sqrt{3}{\pi }^2$ cm/s².

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Không kết luận chiều chuyển động chỉ từ dấu của li độ; phải xét dấu của vận tốc.

Dạng 2. Xác định biên độ và pha ban đầu từ trạng thái ban đầu

Tại $\mathrm{t=0}$:

$$x_0\mathrm{=A}\cos \phi$$

$$v_0\text{=-ωA}\sin \phi .$$

a) Xác định biên độ

Bình phương và cộng hai hệ thức:$\mathrm{A=}\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}.$

b) Xác định pha ban đầu

Ta có:

$$\cos \phi =\frac{x_0}{A}$$

$$\sin \phi =-\frac{v_0}{\mathrm{\omega A}}.$$

Nếu $x_0\mathrm{\ne 0}$, có thể dùng thêm:

$$\tan \phi =-\frac{v_0}{\omega x_0}.$$

Tuy nhiên, phải kết hợp dấu của $\cos \phi$ và $\sin \phi$ để chọn đúng góc phần tư.

Sau khi tìm được $A$ và $\phi$, viết:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

BÀI TẬP ÁP DỤNG 2

Đề bài. Một vật dao động điều hòa với tần số góc $\omega =5$ rad/s. Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ $x_0=-4$ cm và vận tốc $v_0=15$ cm/s.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Dùng hệ thức độc lập với thời gian $A^2=x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}$.

Bước 2. Dùng đồng thời $\cos {\phi }_0=\frac{x_0}{A}$ và $\sin {\phi }_0=-\frac{v_0}{\mathrm{\omega A}}$ để chọn đúng góc phần tư.

Bước 3. Khi qua vị trí cân bằng theo chiều dương, pha thỏa mãn $\cos \theta =0$ và $\text{-sin}\theta >0$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+\frac{{15}^2}{5^2}}=\text{5\hspace{0.25em}}\mathrm{cm}.$$

Ta có:

$$\cos {\phi }_0=-\frac{4}{5},\sin {\phi }_0=-\frac{3}{5}.$$

Cả sin và cos đều âm nên ${\phi }_0$ thuộc góc phần tư III. Trong khoảng đã chọn:

$${\phi }_0=-\pi \text{+arctan}\frac{3}{4}\approx -2,\text{498\hspace{0.25em}}\mathrm{rad}.$$

$$x=5\cos \left(\mathrm{5t}-\pi \text{+arctan}\frac{3}{4}\right).$$

Vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương khi pha bằng $-\frac{\pi }{2}+\mathrm{2k\pi }$. Nghiệm dương nhỏ nhất thỏa mãn:

$$\mathrm{5t}-\pi \text{+arctan}\frac{3}{4}=-\frac{\pi }{2}.$$

Suy ra:

$$t=\frac{\frac{\pi }{2}\text{-arctan}\frac{3}{4}}{5}=\frac{1}{5}\text{arctan}\frac{4}{3}\approx 0,\text{185\hspace{0.25em}}s.$$

Đáp số: a) $A=5$ cm; ${\phi }_0=-\pi \text{+arctan}\left(3/4\right)$. b) $x=5\cos \left(\mathrm{5t}-\pi \text{+arctan}\left(3/4\right)\right)$ (cm); $t\approx 0,185$ s.

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Không dùng riêng công thức tang để chọn pha ban đầu vì cùng một giá trị tang có thể ứng với hai góc khác nhau.

Dạng 3. Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực đại

Khi biết $A$ và $\omega$:

$$v_{\max }\mathrm{=\omega A}$$

$$a_{\max }={\omega }^{2}A.$$

Nếu sử dụng hệ SI:

Nếu $A$ được cho theo centimét, có thể tính $v$ theo cm/s, nhưng khi tính gia tốc theo m/s² phải đổi $A$ sang mét.

BÀI TẬP ÁP DỤNG 3

Đề bài. Một vật dao động điều hòa có biên độ $A=8$ cm và chu kì $T=0,40$ s.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Đổi biên độ sang mét và tính $\omega =\frac{\mathrm{2\pi }}{T}$.

Bước 2. Dùng $v_{\max }=\mathrm{\omega A}$, $a_{\max }={\omega }^{2}A$.

Bước 3. Khi biết li độ, dùng $v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$ và $\left|a\right|={\omega }^2\left|x\right|$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Lời giải.

Đổi $A=\text{8\hspace{0.17em}}\mathrm{cm=}0,\text{08\hspace{0.17em}}m$. Tần số góc:

$$\omega =\frac{\mathrm{2\pi }}{0,40}=\text{5π\hspace{0.25em}}\text{rad/s}.$$

$$v_{\max }=\mathrm{\omega A}=\mathrm{5\pi }\cdot 0,08=0,\mathrm{4\pi }\approx 1,\text{26\hspace{0.25em}}\mathrm{m/s}.$$

Độ lớn gia tốc cực đại:

$$a_{\max }={\omega }^{2}A={\left(\mathrm{5\pi }\right)}^2\cdot 0,08=2{\pi }^2\approx 19,\text{74\hspace{0.25em}}{\mathrm{m/s}}^2.$$

$$v=\mathrm{5\pi }\sqrt{0,{08}^2-0,{04}^2}=0,2\sqrt{3}\pi \approx 1,\text{09\hspace{0.25em}}\mathrm{m/s}.$$

$$\left|a\right|={\left(\mathrm{5\pi }\right)}^2\cdot 0,04={\pi }^2\approx 9,\text{87\hspace{0.25em}}{\mathrm{m/s}}^2.$$

Đáp số: a) $v_{\max }=0,\mathrm{4\pi }\approx 1,26$ m/s; $a_{\max }=2{\pi }^2\approx 19,74$ m/s². b) $v=0,2\sqrt{3}\pi \approx 1,09$ m/s; $\left|a\right|={\pi }^2\approx 9,87$ m/s².

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Khi yêu cầu kết quả theo hệ SI, phải đổi biên độ và li độ từ centimét sang mét trước khi tính.

Dạng 4. Nhận dạng đồ thị li độ, vận tốc và gia tốc

Ba đại lượng đều biến thiên điều hòa cùng chu kì:

$$\mathrm{x=A}\cos \theta$$

$$\text{v=ωA}\cos \left(\mathrm{\theta +}\frac{\pi }{2}\right)$$

$$\mathrm{a=}{\omega }^{2}A\cos \left(\mathrm{\theta +\pi }\right).$$

Quy tắc nhận dạng

Các bước

Bước 1. Tìm hai đồ thị ngược pha; đó là $\mathrm{x-t}$ và $\mathrm{a-t}$.

Bước 2. Xác định đồ thị còn lại là $\mathrm{v-t}$.

Bước 3. Dùng dấu hoặc giá trị tại $\mathrm{t=0}$ để phân biệt $\mathrm{x-t}$ với $\mathrm{a-t}$.

Dạng 5. Viết phương trình dao động từ đồ thị $\mathrm{x-t}$

Bước 1. Xác định biên độ

$$\mathrm{A=}\max \mid \mathrm{x\mid }.$$

Bước 2. Xác định chu kì

Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai trạng thái giống nhau, chẳng hạn:

Bước 3. Tính tần số góc

$$\mathrm{\omega =}\frac{\mathrm{2\pi }}{T}.$$

Bước 4. Xác định pha ban đầu

Từ đồ thị tại $\mathrm{t=0}$, xác định:

Nếu đồ thị đang đi lên thì $v_0\mathrm{>0}$; nếu đồ thị đang đi xuống thì $v_0\mathrm{<0}$.

Sử dụng:

$$x_0\mathrm{=A}\cos \phi$$

và:

$$v_0\text{=-ωA}\sin \phi$$

để chọn đúng $\phi$.

Bước 5. Viết phương trình

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

BÀI TẬP ÁP DỤNG 5

Đề bài. Đồ thị li độ theo thời gian của một vật dao động điều hòa cho biết: biên độ bằng $4$ cm; tại $t=0$, vật có li độ $2$ cm và đồ thị đang đi lên; hai thời điểm liên tiếp vật đạt li độ cực đại dương là $t=\frac{1}{6}$ s và $t=\frac{7}{6}$ s.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Khoảng thời gian giữa hai cực đại dương liên tiếp chính là chu kì.

Bước 2. Tại $t=0$, dùng $x_0=A\cos {\phi }_0$ và dấu của vận tốc để chọn pha.

Bước 3. Với yêu cầu đi qua $x=-2$ cm theo chiều âm, kết hợp điều kiện $\cos \theta =-1/2$ và $\sin \theta >0$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Lời giải.

$$T=\frac{7}{6}-\frac{1}{6}=\text{1\hspace{0.25em}}s.$$

Tần số góc:

$$\omega =\frac{\mathrm{2\pi }}{T}=\text{2π\hspace{0.25em}}\text{rad/s}.$$

Tại $t=0$:

$$\cos {\phi }_0=\frac{x_0}{A}=\frac{1}{2}.$$

Đồ thị đang đi lên nên $v_0>0$, tức là $\text{-sin}{\phi }_0>0$ hay $\sin {\phi }_0<0$. Do đó:

$${\phi }_0=-\frac{\pi }{3}.$$

$$x=4\cos \left(\mathrm{2\pi t}-\frac{\pi }{3}\right).$$

Vật qua $x=-2$ cm theo chiều âm khi:

$$\cos \theta =-\frac{1}{2},\sin \theta >0.$$

Nghiệm pha đầu tiên phù hợp là $\theta =\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$. Vì vậy:

$$\mathrm{2\pi t}-\frac{\pi }{3}=\frac{\mathrm{2\pi }}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{2}s.$$

Đáp số: a) $T=1$ s; $\omega =\mathrm{2\pi }$ rad/s; ${\phi }_0=-\pi /3$. b) $x=4\cos \left(\mathrm{2\pi t}-\pi /3\right)$ (cm); $t=0,50$ s.

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Khi đọc pha ban đầu từ đồ thị, ngoài li độ tại $t=0$ phải xét đồ thị đang đi lên hay đi xuống.

Dạng 6. Xác định thời điểm vật qua một vị trí

Từ phương trình:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right),$$

khi vật qua vị trí $\mathrm{x=}{x}_1$:

$$\cos \left(\text{ωt+φ}\right)=\frac{x_1}{A}.$$

Giải phương trình lượng giác để tìm $t$.

Nếu bài hỏi thời điểm đầu tiên, phải:

Ví dụ, nếu tại $\mathrm{t=0}$, vật ở biên dương $\mathrm{x=A}$, phương trình có thể viết:

$$\mathrm{x=A}\cos \omega \mathrm{t.}$$

Thời điểm đầu tiên vật qua $\text{x=A/2}$:

$$\cos \omega \mathrm{t=}\frac{1}{2}$$

nên:

$$\mathrm{\omega t=}\frac{\pi }{3}.$$

Suy ra:

$$\mathrm{t=}\frac{\pi }{\mathrm{3\omega }}=\frac{T}{6}.$$

BÀI TẬP ÁP DỤNG 6

Đề bài. Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x=8\cos \left(\mathrm{2\pi t}-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Đặt pha $\theta =\mathrm{2\pi t}-\frac{\pi }{3}$.

Bước 2. Với mỗi vị trí, kết hợp phương trình cos với dấu của vận tốc $v=-\mathrm{16\pi }\sin \theta$.

Bước 3. Chọn nghiệm dương nhỏ nhất nằm sau thời điểm đã xác định.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

$$\cos \theta =\frac{1}{2}.$$

Vật chuyển động theo chiều âm nên $v<0$, suy ra $\sin \theta >0$. Pha phù hợp đầu tiên sau pha ban đầu $-\pi /3$ là $\theta =\pi /3$. Do đó:

$$\mathrm{2\pi t}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t_1=\frac{1}{3}s.$$

$$\cos \theta =-\frac{1}{2},\text{ v}>0\text{⇒sin}\theta <0.$$

Pha phù hợp đầu tiên sau $\theta =\pi /3$ là $\theta =\mathrm{4\pi }/3$. Vì vậy:

$$\mathrm{2\pi }{t}_2-\frac{\pi }{3}=\frac{\mathrm{4\pi }}{3}\Rightarrow t_2=\frac{5}{6}s.$$

Khoảng thời gian giữa hai trạng thái:

$$\mathrm{\Delta t}=t_2-t_1=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}s.$$

Đáp số: a) $t_1=1/3$ s. b) $t_2=5/6$ s; $\mathrm{\Delta t}=1/2$ s.

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Một li độ thường được vật đi qua theo hai chiều khác nhau trong mỗi chu kì; điều kiện về chiều chuyển động giúp chọn đúng nghiệm pha.

Dạng 7. Vận dụng mối liên hệ với chuyển động tròn đều

Dao động điều hòa là hình chiếu của chuyển động tròn đều lên một đường kính.

Nếu điểm chuyển động tròn đều quay được một góc $\Delta \theta$, thời gian tương ứng là:

$$\Delta \mathrm{t=}\frac{\Delta \theta }{\omega }.$$

Nếu hình chiếu của một điểm trên bàn quay trùng với vị trí của vật dao động thì:

BÀI TẬP ÁP DỤNG 7

Đề bài. Điểm $M$ chuyển động tròn đều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính $R=5$ cm với tốc độ góc $\mathrm{4\pi }$ rad/s. Tại $t=0$, bán kính $\mathrm{OM}$ hợp với chiều dương của trục $\mathrm{Ox}$ một góc $\pi /3$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $\mathrm{Ox}$.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Li độ hình chiếu bằng hoành độ của điểm chuyển động tròn: $x=R\cos \theta$.

Bước 2. Vì điểm $M$ quay ngược chiều kim đồng hồ nên góc tăng theo thời gian: $\theta =\mathrm{4\pi t}+\pi /3$.

Bước 3. Dùng dấu của $v=-\mathrm{\omega R}\sin \theta$ để chọn đúng vị trí trên đường tròn.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

$$x=5\cos \left(\mathrm{4\pi t}+\frac{\pi }{3}\right).$$

Chu kì:

$$T=\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{4\pi }}=\frac{1}{2}s.$$

Tại $t=0$:

$$x_0=5\cos \frac{\pi }{3}=2,\text{5\hspace{0.25em}}\mathrm{cm},$$

$$v_0=-\mathrm{20\pi }\sin \frac{\pi }{3}=-10\sqrt{3}\text{π\hspace{0.25em}}\text{cm/s}<0.$$

Vậy $P$ đang chuyển động theo chiều âm.

$$\theta =\frac{\mathrm{4\pi }}{3}.$$

Do đó:

$$\mathrm{4\pi t}+\frac{\pi }{3}=\frac{\mathrm{4\pi }}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{4}s.$$

Đáp số: a) $x=5\cos \left(\mathrm{4\pi t}+\pi /3\right)$ (cm); $T=0,5$ s; tại $t=0$, $x=2,5$ cm và chuyển động theo chiều âm. b) $t=0,25$ s.

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Chiều quay của điểm trên đường tròn quyết định chiều tăng của pha; chiều chuyển động của hình chiếu vẫn phải xác định qua dấu của vận tốc.

Dạng 8. Phân tích độ lệch pha từ hai đồ thị

Xét hai dao động cùng tần số:

$$x_A=A_A\cos \left(\mathrm{\omega t+}{\phi }_A\right)$$

$$x_B=A_B\cos \left(\mathrm{\omega t+}{\phi }_B\right).$$

Độ lệch pha của dao động $A$ so với dao động $B$:

$$\Delta \mathrm{\phi =}{\phi }_A-{\phi }_B.$$

Từ đồ thị:

Nếu độ lệch thời gian giữa hai trạng thái tương ứng là $\Delta t$:

$$\mid \Delta \text{φ∣=ω}\Delta \mathrm{t=2}\pi \frac{\Delta t}{T}.$$

BÀI TẬP ÁP DỤNG 8

Đề bài. Hai đồ thị li độ $x_1$, $x_2$ biểu diễn hai dao động điều hòa cùng chu kì $T=0,80$ s. Biên độ tương ứng là $A_1=4$ cm và $A_2=6$ cm. Sau thời điểm $t=0$, dao động thứ nhất đạt cực đại dương lần đầu tại $t_1=0,10$ s, còn dao động thứ hai đạt cực đại dương lần đầu tại $t_2=0,30$ s.

ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY

Bước 1. Tính độ lệch thời gian giữa hai trạng thái cực đại tương ứng.

Bước 2. Dùng $\left|\mathrm{\Delta \phi }\right|=\mathrm{\omega \Delta t}=\frac{\text{2πΔt}}{T}$; đồ thị đạt cực đại sớm hơn là dao động sớm pha hơn.

Bước 3. Tại thời điểm cực đại, pha bằng $0$ theo modulo $\mathrm{2\pi }$, từ đó tìm pha ban đầu của từng dao động.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Lời giải.

$$\omega =\frac{\mathrm{2\pi }}{T}=\frac{\mathrm{2\pi }}{0,80}=\frac{\mathrm{5\pi }}{2}\text{rad/s}.$$

Độ lệch thời gian giữa hai cực đại tương ứng:

$$\mathrm{\Delta t}=t_2-t_1=0,\text{20\hspace{0.25em}}s=\frac{T}{4}.$$

Do đó:

$$\left|\mathrm{\Delta \phi }\right|=\mathrm{\omega \Delta t}=\frac{\mathrm{5\pi }}{2}\cdot 0,20=\frac{\pi }{2}.$$

Dao động thứ nhất đạt cực đại sớm hơn nên $x_1$ sớm pha hơn $x_2$ một góc $\pi /2$.

$${\phi }_1=-\omega t_1=-\frac{\pi }{4}.$$

Tương tự:

$${\phi }_2=-\omega t_2=-\frac{\mathrm{3\pi }}{4}.$$

Hai phương trình dao động:

$$x_1=4\cos \left(\frac{\mathrm{5\pi }}{2}t-\frac{\pi }{4}\right),$$

$$x_2=6\cos \left(\frac{\mathrm{5\pi }}{2}t-\frac{\mathrm{3\pi }}{4}\right).$$

Tại $t=0,10$ s, pha của dao động thứ hai là:

$${\theta }_2=\frac{\mathrm{5\pi }}{2}\cdot 0,10-\frac{\mathrm{3\pi }}{4}=-\frac{\pi }{2}.$$

Suy ra:

$$x_2=6\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0,$$

$$v_2=-\omega A_2\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=\text{15π\hspace{0.25em}}\text{cm/s}>0.$$

Vậy dao động thứ hai đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Đáp số: a) $x_1$ sớm pha hơn $x_2$ một góc $\pi /2$. b) $x_1=4\cos \left(\mathrm{5\pi t}/2-\pi /4\right)$ (cm); $x_2=6\cos \left(\mathrm{5\pi t}/2-\mathrm{3\pi }/4\right)$ (cm); tại $t=0,10$ s, $x_2=0$ và chuyển động theo chiều dương.

LƯU Ý CHO HỌC SINH

Khi so sánh hai đồ thị cùng chu kì, trạng thái xuất hiện sớm hơn theo trục thời gian tương ứng với dao động sớm pha hơn.

3. GHI NHỚ NHANH

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$$

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right)$$

$$\mathrm{a=-}{\omega }^2\mathrm{x=-}{\omega }^2\text{Acos}\left(\text{ωt+φ}\right)$$

$$\mathrm{T=}\frac{\mathrm{2\pi }}{\omega };\text{ f=}\frac{\omega }{\mathrm{2\pi }}$$

$$\mathrm{A=}\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}$$

$$\cos \phi =\frac{x_0}{A};\sin \phi =-\frac{v_0}{\mathrm{\omega A}}$$

$$v_{\max }\text{=ωA };a_{\max }={\omega }^{2}A$$

Quan hệ pha: