Bài 3. Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hòa

1. Kiến thức trọng tâm

1.1. Vận tốc của vật dao động điều hòa

a) Ý nghĩa của vận tốc

Vận tốc tức thời cho biết:

Trong khoảng thời gian rất nhỏ $\Delta t$, vận tốc được xác định bởi:

$$\mathrm{v=}\frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Trên đồ thị li độ – thời gian, vận tốc tức thời bằng độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị $\mathrm{x-t}$ tại thời điểm đang xét.

b) Phương trình vận tốc

Vật dao động điều hòa có phương trình:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:

$$\mathrm{v=}{x}^{\text{'}}.$$

Suy ra:

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Có thể viết dưới dạng hàm cosin:

$$\text{v=ωA}\cos \left(\text{ωt+φ+}\frac{\pi }{2}\right).$$

Vì vậy, vận tốc cũng biến thiên điều hòa theo thời gian, có cùng tần số góc và cùng chu kì với li độ.

c) Quan hệ giữa vận tốc và li độ

Từ: $\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$ và: $\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right),$

ta có:

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{{\omega }^2{A}^2}\mathrm{=1.}$$

Suy ra:

$$v^2={\omega }^2\left(A^2-x^2\right)$$

hay:

$$\text{v=±ω}\sqrt{A^2-x^2}.$$

Trong đó:

d) Vận tốc tại các vị trí đặc biệt

Như vậy, vật chuyển động nhanh nhất khi qua vị trí cân bằng và đổi chiều chuyển động tại hai vị trí biên.

e) Đồ thị vận tốc – thời gian

Đồ thị $\mathrm{v-t}$ là một đường hình sin.

So sánh:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$$

và:

$$\text{v=ωA}\cos \left(\text{ωt+φ+}\frac{\pi }{2}\right),$$

ta thấy:

$$\text{Vận tốc sớm pha }\frac{\pi }{2}\text{ so với li độ}.$$

1.2. Gia tốc của vật dao động điều hòa

a) Ý nghĩa của gia tốc

Gia tốc tức thời cho biết vận tốc của vật thay đổi nhanh hay chậm theo thời gian.

Trong khoảng thời gian rất nhỏ $\Delta t$:

$$\mathrm{a=}\frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

Trên đồ thị vận tốc – thời gian, gia tốc tức thời bằng độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị $\mathrm{v-t}$ tại thời điểm đang xét.

b) Phương trình gia tốc

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

$$\mathrm{a=}{v}^{\text{'}}.$$

Từ:

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right),$$

suy ra:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}A\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Do:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right),$$

nên:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}x.$$

Đây là hệ thức đặc trưng của dao động điều hòa.

c) Ý nghĩa của hệ thức $\mathrm{a=-}{\omega }^{2}x$

Từ: $\mathrm{a=-}{\omega }^2\mathrm{x,}$

ta thấy:

$$\text{∣a∣=}{\omega }^2\mathrm{\mid x\mid };$$

Cụ thể:

d) Gia tốc tại các vị trí đặc biệt

Độ lớn gia tốc cực đại: $a_{\max }={\omega }^{2}A.$

Gia tốc có độ lớn cực đại tại hai vị trí biên và bằng $0$ tại vị trí cân bằng.

e) Đồ thị gia tốc – thời gian

Đồ thị $\mathrm{a-t}$ cũng là một đường hình sin.

Ta có:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right),$$

$$\mathrm{a=}{\omega }^{2}A\cos \left(\text{ωt+φ+π}\right).$$

Vì vậy:

$$\text{Gia tốc ngược pha với li độ}.$$

Vận tốc và gia tốc đều biến thiên điều hòa, cùng tần số và cùng chu kì với li độ.

1.3. Tổng hợp tại các vị trí đặc biệt

2. HIỂU SÂU BẢN CHẤT

2.1. Phân biệt vận tốc và tốc độ

Vận tốc là đại lượng đại số:

Tại cùng một li độ, vật có thể đi qua hai lần với hai vận tốc trái dấu nhưng cùng tốc độ.

2.2. Gia tốc không luôn ngược chiều vận tốc

Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, còn vận tốc hướng theo chiều chuyển động.

2.3. Gia tốc bằng $0$ không có nghĩa vật đứng yên

- Tại vị trí cân bằng: $\mathrm{a=0}$ nhưng: $\text{∣v∣=}{v}_{\max }$, vật chuyển động nhanh nhất.

- Ngược lại, tại vị trí biên: $\mathrm{v=0}$ nhưng: $\text{∣a∣=}{a}_{\max }\text{, v}$ ật chỉ dừng lại tức thời để đổi chiều.

2.4. Quan hệ pha giữa ba đại lượng

Viết dưới dạng cosin:

$$\mathrm{x=A}\cos \theta ,$$

$$\text{v=ωA}\cos \left(\mathrm{\theta +}\frac{\pi }{2}\right),$$

$$\mathrm{a=}{\omega }^{2}A\cos \left(\mathrm{\theta +\pi }\right).$$

Suy ra:

3. GHI NHỚ NHANH

Phương trình li độ:

$$\mathrm{x=A}\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$$

Phương trình vận tốc:

$$\text{v=-ωA}\sin \left(\text{ωt+φ}\right)$$

Quan hệ giữa vận tốc và li độ:

$$\text{v=±ω}\sqrt{A^2-x^2}$$

Tốc độ cực đại:

$$v_{\max }\mathrm{=\omega A}$$

Phương trình gia tốc:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}A\cos \left(\text{ωt+φ}\right)$$

Hệ thức đặc trưng:

$$\mathrm{a=-}{\omega }^{2}x$$

Độ lớn gia tốc cực đại:

$$a_{\max }={\omega }^{2}A$$

Quan hệ pha:

4. LƯU Ý CHO HỌC SINH

- độ dốc đồ thị $\mathrm{x-t}$ cho biết vận tốc;

- độ dốc đồ thị $\mathrm{v-t}$ cho biết gia tốc.