Bài 13. Sóng dừng

YÊU CẦU CẦN ĐẠT

• Thực hiện thí nghiệm tạo sóng dừng và giải thích được sự hình thành sóng dừng.

• Sử dụng hình ảnh (tạo ra bằng thí nghiệm, hoặc hình vẽ cho trước), xác định được nút và bụng của sóng dừng.

• Sử dụng các cách biểu diễn đại số và đồ thị để phân tích, xác định được vị trí nút và bụng của sóng dừng.

1. SỰ HÌNH THÀNH SÓNG DỪNG

Khi sóng truyền đến đầu dây, sóng bị phản xạ và truyền ngược trở lại.

Sóng tới và sóng phản xạ:

• Có cùng phương dao động.

• Có cùng tần số và bước sóng.

• Truyền theo hai hướng ngược nhau.

• Có biên độ bằng nhau hoặc gần bằng nhau.

Hai sóng giao thoa với nhau và tạo thành sóng dừng.

Sóng dừng là kết quả giao thoa của hai sóng cùng phương, cùng tần số, cùng bước sóng, cùng biên độ và truyền theo hai hướng ngược nhau.

Trong sóng dừng, vị trí các nút và bụng cố định trong không gian.

2. NÚT SÓNG VÀ BỤNG SÓNG

a) Nút sóng

Nút sóng là điểm luôn đứng yên, có biên độ dao động bằng $0$.

b) Bụng sóng

Bụng sóng là điểm dao động với biên độ cực đại.

3. Khoảng cách đặc trưng

• Hai nút liên tiếp cách nhau $\frac{\lambda }{2}$.

• Hai bụng liên tiếp cách nhau $\frac{\lambda }{2}$.

• Một nút và một bụng gần nhất cách nhau $\frac{\lambda }{4}$.

• Giữa hai nút liên tiếp có một bụng.

• Phần dây giữa hai nút liên tiếp được gọi là một bó sóng và có chiều dài $\frac{\lambda }{2}$.

Các điểm nằm trong cùng một bó dao động cùng pha; hai bó liền kề dao động ngược pha.

4. BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ

Chọn gốc tọa độ tại một nút, phương trình sóng dừng có thể viết:

$$u\left(x,t\right)\mathrm{=2a}\sin \left(\frac{\mathrm{2\pi x}}{\lambda }\right)\cos \left(\text{ωt+φ}\right).$$

Biên độ dao động tại vị trí $x$ là:

$$A\left(x\right)\mathrm{=2a}\mid \sin \left(\frac{\mathrm{2\pi x}}{\lambda }\right)\mid .$$

Vị trí các nút:

$$x_{\mathrm{nút}}\mathrm{=k}\frac{\lambda }{2}$$

Vị trí các bụng:

$$x_{\text{bụng}}=\left(2\mathrm{k+1}\right)\frac{\lambda }{4}$$

Trong đó, $k$ là số nguyên.

5. ĐIỀU KIỆN CÓ SÓNG DỪNG

5.1. Dây có hai đầu cố định

Hai đầu cố định là hai nút. Chiều dài dây phải bằng một số nguyên lần nửa bước sóng:

$$\mathrm{L=n}\frac{\lambda }{2}\text{, n=1,2,3,…}$$

Suy ra ${\lambda }_n=\frac{\mathrm{2L}}{n}$ và $f_n=\frac{\mathrm{nv}}{\mathrm{2L}}$.

Nếu trên dây có $n$ bó sóng:

• Có $n$ bụng.

• Có $\mathrm{n+1}$ nút, kể cả hai đầu dây.

5.2. Dây một đầu cố định, một đầu tự do

Đầu cố định là nút, đầu tự do là bụng.

Điều kiện có sóng dừng:

$$\mathrm{L=}\left(\text{2n+1}\right)\frac{\lambda }{4}\text{, n=0,1,2,…}$$

Suy ra ${\lambda }_n=\frac{\mathrm{4L}}{\text{2n+1}}$ và $f_n=\left(\text{2n+1}\right)\frac{v}{\mathrm{4L}}$.

6. SÓNG DỪNG TRONG NHẠC CỤ

6.1. Nhạc cụ dây

Khi dây đàn được gảy hoặc kéo, sóng truyền trên dây, phản xạ tại hai đầu và tạo thành sóng dừng.

Ở trạng thái cơ bản của dây hai đầu cố định, ta có $\text{λ=2L}$ và $\mathrm{f=}\frac{v}{\mathrm{2L}}$.

Khi người chơi bấm vào một vị trí khác trên dây, chiều dài phần dây dao động thay đổi nên tần số âm phát ra thay đổi.

6.2. Nhạc cụ khí

Trong sáo và kèn, cột không khí dao động và hình thành sóng dừng.

• Đầu kín là nút dao động.

• Đầu hở là bụng dao động.

Đóng hoặc mở các lỗ trên nhạc cụ làm thay đổi chiều dài hiệu dụng của cột không khí và làm thay đổi tần số âm phát ra.

7. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN SÓNG DỪNG

1. Bước 1. Xác định điều kiện ở hai đầu

• Đầu cố định hoặc đầu dao động có biên độ rất nhỏ được xem là nút.

• Đầu tự do được xem là bụng.

2. Bước 2. Chọn công thức phù hợp

Nếu hai đầu là nút, sử dụng:

$$\mathrm{L=n}\frac{\lambda }{2}.$$

Nếu một đầu là nút, một đầu là bụng, sử dụng:

$$\mathrm{L=}\left(\text{2n+1}\right)\frac{\lambda }{4}.$$

3. Bước 3. Xác định bước sóng

Từ hình vẽ hoặc số bó sóng:

• Hai nút liên tiếp cách nhau $\frac{\lambda }{2}$.

• Nút và bụng gần nhất cách nhau $\frac{\lambda }{4}$.

• Với $n$ bó trên dây hai đầu cố định, $\mathrm{\lambda =}\frac{\mathrm{2L}}{n}$.

4. Bước 4. Sử dụng hệ thức sóng

Khi biết bước sóng và tần số, tốc độ truyền sóng được xác định bởi:

$$\text{v=λf.}$$

Khi biết tốc độ và bước sóng, tần số được xác định bởi:

$$\mathrm{f=}\frac{v}{\lambda }.$$

5. Bước 5. Kiểm tra số nút và số bụng

Với dây hai đầu cố định có $n$ bó:

• Số bụng bằng $n$.

• Số nút bằng $\mathrm{n+1}$.

Với dây một đầu cố định, một đầu tự do ứng với chỉ số $n$:

• Số nút bằng $\mathrm{n+1}$.

• Số bụng bằng $\mathrm{n+1}$.

8. HIỂU SÂU BẢN CHẤT

1. Vì sao nút luôn đứng yên?

Tại nút, hai sóng thành phần luôn có li độ bằng nhau về độ lớn nhưng trái dấu. Tổng li độ luôn bằng $0$, nên phần tử tại đó không dao động.

2. Vì sao bụng dao động mạnh nhất?

Tại bụng, hai sóng thành phần luôn tăng cường nhau. Nếu mỗi sóng có biên độ $a$, biên độ dao động tổng hợp tại bụng là $\mathrm{2a}$.

3. Vì sao sóng dừng chỉ xuất hiện ở một số tần số?

Chiều dài dây và điều kiện ở hai đầu chỉ cho phép những hình dạng có nút và bụng phù hợp tồn tại ổn định.

Do đó, bước sóng và tần số phải thỏa mãn điều kiện biên. Những tần số không thỏa mãn không tạo được hệ nút – bụng ổn định.

4. Vì sao thay đổi tần số làm thay đổi số bó sóng?

Khi tốc độ truyền sóng không đổi, $\mathrm{\lambda =}\frac{v}{f}$.

• Tần số tăng thì bước sóng giảm.

• Mỗi bó có chiều dài $\frac{\lambda }{2}$ nên bó sóng ngắn hơn.

• Trên cùng chiều dài dây có thể xuất hiện nhiều bó sóng hơn.

5. Vì sao các điểm trong cùng một bó dao động cùng pha?

Giữa hai nút liên tiếp, hệ số biên độ trong phương trình sóng dừng không đổi dấu. Vì vậy, các phần tử trong cùng một bó cùng đạt vị trí cân bằng và vị trí biên theo cùng một chiều tại cùng thời điểm.

6. Vì sao hai bó liền kề dao động ngược pha?

Khi đi qua một nút, hệ số biên độ đổi dấu. Do đó, các phần tử nằm ở hai phía của nút dao động ngược pha.

IV. Mở rộng và nâng cao

1. Phương trình sóng dừng

- Xét dao động của một phần tử tại điểm $M$ trên dây cách đầu cố định $B$ một khoảng $\mathrm{MB}=d$. Giả sử vào thời điểm bắt đầu quan sát, sóng tới đến $B$ và truyền tới đó một dao động có phương trình dao động là:

$$u_B=A\cos \text{2πft}$$

- Chọn gốc tọa độ $O$ tại $B$, chiều dương của trục $\mathrm{Ox}$ là chiều từ $B$ đến $M$.

- Sóng tới truyền từ $M$ đến $B$ ngược chiều với chiều dương của trục $\mathrm{Ox}$ và $B$ cách $M$ một khoảng $d$, nên ở $M$ có phương trình dao động là:

$$u_M=A\cos \left(\text{2πft}+\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }\right)$$

- Sóng phản xạ ở $B$ có li độ ngược chiều với li độ của sóng tới. Do đó phương trình của sóng phản xạ ở $B$ là:

$$u{\text{'}}_B=-A\cos \text{2πft}$$

hay

$$u{\text{'}}_B=A\cos \left(\text{2πft}-\pi \right)$$

- Sóng phản xạ truyền theo chiều dương của trục $\mathrm{Ox}$ một quãng đường bằng $d$ để trở lại $M$. Phương trình sóng phản xạ tại $M$ là:

$$u{\text{'}}_M=A\cos \left(\text{2πft}-\pi -\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }\right)$$

hay

$$u{\text{'}}_M=A\cos \left(\text{2πft}-\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }-\pi \right)\left(15.2\right)$$

- Như vậy, khi sóng tới và sóng phản xạ liên tục truyền qua $M$ thì ở mỗi thời điểm, $M$ đồng thời nhận được hai dao động cùng phương. Do đó, dao động tại $M$ sẽ là tổng hợp hai dao động do sóng tới và sóng phản xạ truyền đến.

Ta có:

$$u=u_M+u{\text{'}}_M$$

$$u=A\cos \left(\text{2πft}+\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }\right)+A\cos \left(\text{2πft}-\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }-\pi \right)$$

- Áp dụng công thức lượng giác

$$\cos \alpha \text{+cos}\beta =2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$$

ta được:

$$u=\mathrm{2A}\cos \left(\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\cos \left(\text{2πft}-\frac{\pi }{2}\right)$$

2. Biên độ của sóng dừng

- Công thức cho thấy, phần tử tại điểm $M$ dao động điều hòa với tần số $f$ và biên độ dao động là:

$$a=\left|\mathrm{2A}\cos \left(\frac{\mathrm{2\pi d}}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\right|$$

- Biên độ này phụ thuộc vào khoảng cách $d=\mathrm{MB}$ từ điểm $M$ đến đầu cố định của dây.

- Nếu khoảng cách $d$ bằng một số nguyên lần nửa bước sóng, $d=k\frac{\lambda }{2}$, thì biên độ dao động tại $M$ bằng $0$, và tại $M$ có một nút.

- Nếu khoảng cách $d=\left(k+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{2}$ thì biên độ dao động có giá trị cực đại, tại đó có một bụng (điểm $M\text{'}$).

- Cho $k$ các giá trị lần lượt bằng $0,1,2,3\mathrm{,\dots }$, ta có các nút và bụng xen kẽ cách đều nhau. Khoảng cách giữa hai nút liên tiếp hay hai bụng liên tiếp bằng nửa bước sóng.

Có thể nói sóng dừng là kết quả của sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ.

3. Điều kiện để có sóng dừng

a) Đối với sợi dây có hai đầu cố định hay một đầu dây cố định và một đầu dao động với biên độ nhỏ:

$$l=n\frac{\lambda }{2},\text{ n}=1,2\mathrm{,\dots }$$

$n$ bằng số bụng quan sát được.

b) Đối với sợi dây có một đầu tự do

$$l=m\frac{\lambda }{4},m=1,3,5\mathrm{,\dots }$$